Математическая энциклопедия

Алгебраическая Алгебра

Алгебраическая Алгебра
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

алгебра А с ассоциативными степенями (в частности, ассоциативная) над полем F, все элементы к-рой являются алгебраическими (элемент наз. алгебраическим, если порожденная им подалгебра F[a]конечномерна, или, что равносильно, элемент аобладает аннулирующим многочленом с коэффициентами из основного поля F). Алгебра Аназ. А. а. ограниченной с т е-п е н и, если она алгебраическая и степени минимальных аннулируюцих многочленов ее элементов ограничены в совокупности. Подалгебра и гомоморфный образ А. а. (ограниченной степени) являются А. а. (ограниченной степени).

Примеры А. а.: локально конечные алгебры (в частности, конечномерные), нильалгебры, ассоциативные тела со счетным множеством образующих над несчетным полем.

Рассматриваемые ниже алгебры предполагаются ассоциативными. Джекобсона радикал А. а. является нильидеалом. Примитивная А. а. A изоморфна плотной алгебре линейных преобразований векторного пространства над телом, если при этом Аограниченной степени, то Аизоморфна кольцу матриц над телом. А. а. без ненулевых нильпотентых элементов (в частности, тело) над конечным полем коммутативна. Отсюда следует коммутативность конечных тел. А. а. ограниченной степени удовлетворяет полиномиальному тождеству (PI -алгебра). Алгебраическая PI-алгебра локально конечна. Если основное поле несчетно, то алгебра, полученная из А. а. расширением основного поля, а также тензорное произведение А. а., суть А. а.

Лит.:[1]Джекобеон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972. В. Н. <Латышев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985