Математическая энциклопедия

Алгебраическая Геометрия

Алгебраическая Геометрия
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

раздел математики, изучающий геометрич. объекты, связанные с коммутативными кольцами: алгебраические многообразия и их различные обобщения ( схемы, алгебраические пространства и др.).

В "наивной" формулировке предмет А. г. составляет изучение решений алгебраич. уравнений. Геометрич. интуиция появляется, когда все "множество решений" отождествляется с "множеством точек в нек-ром координатном пространстве". Если координаты - действительные числа и пространство имеет размерность два или три, наглядность ситуации несомненна; однако геометрич. язык используется и при более общих обстоятельствах. Этот язык подсказывает задачи, конструкции и типы рассуждений, едва ли естественные с точки зрения чистой алгебры. В свою очередь, алгебра доставляет аппарат гибкий и мощный, равно приспособленный и для превращения правдоподобных рассуждений в доказательства и для формулировки их в наиболее естественном и общем виде.

В А. г. над полем комплексных чисел всякое алгебраич. многообразие является в то же время комплексно-аналитическим, дифференцируемым и топологич. пространством в обычной хаусдорфовой топологии. Это обстоятельство позволяет ввести целый ряд классич. структур, доставляющих такие инварианты алгебраич. многообразий, к-рые лишь с большим трудом или вовсе не удается получить чисто алгебраич. средствами. Понятия и результаты А. г. интенсивно используются в теории чисел (диофантовы уравнения, оценки триго-нометрич. сумм), дифференциальной топологии (особенности и дифференцируемые структуры), теории групп (алгебраич. группы, простые конечные группы, связанные с группами Ли), теории дифференциальных уравнений (K-теория и индекс эллиптич. операторов), теории комплексных пространств, теории категорий (то-посы, абелевы категории), функциональном анализе (теория представлений). В свою очередь, А. г. использует идеи и методы названных дисциплин.

Возникновение А. г. относится к 17 в., когда в геометрию было введено понятие координат. Тем не менее только в сер. 19 в. А. г. начала оформляться в самостоятельную науку. Применение координат в проективной геометрии привело к тому, что алгебраич. методы стали соперничать с синтетич. методами. Однако достижения этой ветви А. г. относятся собственно к проективной геометрии, хотя и оставили в наследство А. г. традицию рассмотрения проективных алгебраич. многообразий. Современная А. г. возникла как теория алгебраических кривых. Исторически первый этап развития теории алгебраич. кривых состоял в выяснении основных понятий и идей этой теории на примере эллиптич. кривых. Комплекс понятий и результатов, к-рый наз. теперь теорией эллиптич. кривых, возник как часть анализа (а не геометрии) - теория интегралов от рациональных функций на эллиптической кривой. Именно эти интегралы и получили первоначально название эллиптических, а потом это название перешло на функции и на кривые (см. Эллиптический интеграл).

В самом конце 17 в. Я. и И. Бернулли (Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli) обнаружили новое интересное свойство эллиптич. интегралов. В их исследованиях рассматривались интегралы, выражающие длины дуг нек-рых кривых. Они нашли преобразования одной кривой в другую, сохраняющие длину дуги кривой, хотя соответствующие дуги не могут быть совмещены друг с другом. Аналитически это приводит к преобразованию одного интеграла в другой. В нек-рых случаях возникают преобразования интеграла в себя. В 1-й пол. 18 в. много примеров таких преобразований нашел Дж. Фаньяно (G. Faniano).

Л. Эйлер (L. Euler) исследовал произвольный многочлен 4-й степени f(х).и поставил вопрос о соотношениях между хи y, при к-рых


Это равенство он рассматривал как дифференциальное уравнение, связывающее хи у. Искомое соотношение является общим интегралом данного уравнения. Причина существования интеграла уравнения (1) и всех его частных случаев, открытых Дж. Фаньяно и Вернулли, - наличие группового закона на эллиптич. кривой с уравнением и инвариантность всюду регулярной дифференциальной формы относительно сдвигов на элементы группы. Найденные Л. Эйлером соотношения, к-рые связывают хи ув (1), могут быть записаны в виде


где означает сложение точек на эллиптической кривой.

Таким образом, эти результаты содержат в себе сразу И групповой закон на эллиптич. кривой, и существование инвариантной дифференциальной формы на этой кривой (см. Эллиптическая кривая).

После Л. Эйлера теория эллиптич. интегралов развивалась в основном А. Лежандром (A. Legendre). Его исследования, начавшиеся в 1786, собраны в трехтомном "Трактате по теории эллиптич. функций и эйлеровых интегралов".

Работы Н. Абеля (N. Abel) по теории эллиптич. функций появились в 1827 - 29. Н. Абель исходил из эллиптич. интеграла


где с и е- комплексные числа, рассматривал его как функцию верхнего предела и ввел обратную функцию и функцию


Обе эти функции имеют в комплексной области два периода


и тем самым отображение определяет униформизацию эллиптич. кривой эллиптич. функциями.

Немного позже Н. Абеля, но независимо от него, К. Якоби (С. Jacobi) также рассмотрел функцию, обратную эллиптич. интегралу, доказал, что она имеет два независимых периода, и получил ряд результатов в проблеме преобразований. Преобразуя в форме рядов найденные Н. Абелем выражения эллиптич. функций в виде произведений, К. Якоби пришел к понятию Q-функций и нашел им многочисленные применения не только в теории эллиптич. функций, но и в теории чисел и в механике.

Занимаясь проблемой преобразований эллиптич. функций, Н. Абель впервые исследовал группу гомоморфизмов одномерных абелевых многообразий.

Наконец, после опубликования наследия К. Гаусса (С. Gauss) и, особенно, его дневника стало ясно, что он задолго до работ Н. Абеля и К. Якоби в той или иной мере владел нек-рыми из этих идей. Переход к изучению произвольных алгебраич. кривых произошел все еще в рамках анализа: Н. Абель показал, как основные свойства эллиптич. интегралов могут быть обобщены на интегралы от произвольных алгебраич. функций. Такие интегралы стали впоследствии наз. абелевыми (см. Абелев интеграл).

В1826 Н. Абель написал работу, к-рая явилась началом общей теории алгебраич. кривых. Эта работа содержит понятие рода алгебраич. кривой, эквивалентности дивизоров и дает критерий эквивалентности в терминах интегралов. Она подводит к теории якобиевых многообразий алгебраич. кривых.

В диссертации, опубликованной в 1851, Б. Риман (В. Riemann) применил совершенно новый принцип исследования функций комплексного переменного. Он предполагал, что такая функция задана не на плоскости комплексного переменного, а на некоторой поверхности, которая "многолистно распростерта" над этой плоскостью.

Поверхности, введенные Б. Риманом (см. Риманова поверхность), близко соответствуют современному понятию одномерного комплексного аналитического многообразия;это - такие множества, на к-рых определены аналитич. функции. Б. Риман поставил и решил вопрос о связи этого понятия с понятием алгебраич. кривой; соответствующий результат наз. теперь теоремой существования Римана. Исследуя возможные расположения точек ветвления поверхностей, он доказал, что множество классов зависит при р> 1 от Зр -3 независимых параметров, к-рые назвал модулями (см. Модулей проблема).

Сработы Б. Римана начинается изучение топологии алгебраич. кривых; в ней выясняется топологич. смысл размерности рпространства - это половина размерности одномерной группы гомологии пространства Х(С). Аналитич. путем получено неравенство Равенство Римана - Роха было доказано Э. Рохом (Е. Roche), учеником Б. Римана (см. Римана - Роха теорема). Наконец, в этой работе впервые выступает поле k(X).как первичный объект, связанный с кривой X, и появляется понятие бирацио-нального изоморфизма. Еще Н. Абелем поставлен вопрос об обращении интегралов от произвольных алгеб-раич. функций. Другая часть работы Б. Римана об абе-левых функциях посвящена связи между 0-функциями и проблемой обращения в общем случае; в ней рассматривается ряд от рпеременных


где пробегает все целочисленные р- мерные векторы,


Этот ряд сходится для всех значений v, если действительная часть квадратичной формы Fотрицательно определена. Основное свойство функции 6 - это уравнение


где - целочисленный вектор, - столбец матрицы - линейная функция.

Б. Риман доказал, что можно выбрать разрезы превращающие введенную им поверхность в односвязную, и базис всюду конечных интегралов на этой поверхности так, что интегралы по равны а интегралы по образуют симметрическую матрицу , удовлетворяющую условиям, при к-рых сходится ряд (2). Он рассмотрел функцию , соответствующую этим коэффициентам Периоды произвольной 2л-периодиче-ской функции от ппеременных удовлетворяют соотношениям, аналогичным тем, к-рые необходимы для сходимости рядов, определяющих -функции. Эти соотношения между периодами были явно выписаны Г. Фро-бениусом (G. Frobenius), к-рый доказал, что они необходимы и достаточны для существования нетривиальных функций, удовлетворяющих функциональному уравнению (3) (см. Тета-функция, Абелева функция). Эти соотношения необходимы и достаточны для существования мероморфной функции с заданными периодами, к-рая не может быть сведена линейной заменой переменных к функции меньшего числа переменных. Эта теорема была сформулирована К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) и доказана А. Пуанкаре В 1921 С. Лефшец (S. Lefschetz) доказал, что при выполнении соотношений Фробениуса -функции определяют вложение многообразия в проективное пространство ( - решетка, соответствующая заданной матрице периодов; см. Комплексный тор).

Понятия и результаты, составляющие теперь основу теории алгебраич. кривых, создавались под влиянием и в рамках аналнтич. теории алгебраич. функций и их интегралов. Независимо от этого направления развивалась и чисто геометрия, теория алгебраич. кривых.' Напр., в вышедшей в 1834 книге Ю. Плюккер (J. Pliic-ker) нашел формулы, связывающие класс, степень кривой и число ее двойных точек. Там же он доказал существование девяти точек перегиба у плоской кривой 3-й степени. Но подобного рода исследования занимали второстепенное место в математике того времени, они не были связаны с ее наиболее глубокими идеями.

Только после работ Б. Римана, геометрия алгебраич. кривых заняла важное место в математике наряду с теорией абелевых интегралов и абелевых функций. Это изменение точки зрения связано гл. обр. с работами А. Клебша (A. Clebsch). В то время как у Б. Римана основной являлась функция, А. Клебш считал основным объектом алгебраич. кривую. В книге А. Клебша и П. Гордана [10] выведена формула для числа рлинейно независимых интегралов 1-го рода (т. е. рода кривой X), выражающая его через степень кривой и число особых точек. Там же доказано, что при р = 0 кривая обладает рациональной параметризацией, а при р= 1 преобразуется в плоскую кривую 3-й степени.

Для развития алгебро-геометрич. аспекта теории алгебраич. кривых полезной оказалась одна ошибка Б. Римана. При доказательстве своих теорем существования он считал очевидной разрешимость нек-рой вариационной задачи: "принципа Дирихле". Вскоре К. Вей-ерштрасс показал, что не любая вариационная задача имеет решение. Поэтому нек-рое время результаты Б. Римана оставались необоснованными. Один из выходов заключался в алгебраич. доказательстве этих теорем - формулировка их была, по существу, алгебраической. Эти исследования, предпринятые А. Клеб-шем, в значительной мере способствовали выяснению алгебро-геометрич. характера результатов Н. Абеля и Б. Римана, скрытого под аналитич. оболочкой.

Направление исследований, начатое А. Клебшем, достигло своего расцвета в работах его ученика - М. Нётера (М. Noether). Круг идей М. Нётера особенно ясно, намечен в его совместной работе с А. Бриллем (A. Brill). В ней ставится задача развить геометрию на алгебраич. кривой, лежащей в проективной плоскости, как совокупность результатов, инвариантных относительно взаимно однозначных (т. е. бирациональных) преобразований (см. Бирационалъная геометрия).

К началу 2-й пол. 19 в. было найдено много специальных свойств алгебраич. многообразий размерности большей, чем 1, в основном поверхностей. Напр., были детально исследованы поверхности 3-й степени, и, в частности, Дж. Сальмон (G. Salmon) и А. Кэли (A. Cay-ley) доказали в 1849, что на любой кубич. поверхности без особых точек лежит 27 различных прямых. Однако эти результаты долго не объединялись к.-л. общими принципами и не были связаны с глубокими идеями, выработанными к тому времени в теории алгебраич. кривых.