Математическая энциклопедия

Алгебраическая Группа Преобразований

Алгебраическая Группа Преобразований
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ - алгебраическая группа G, действующая регулярно на алгебраич. многообразии V. Точнее, А. г. п. есть тройка - морфизм алгебраич. многообразий, удовлетворяющий условиям: для всех и g, (е- единица G). Если определены над полем k, то наз. алгебраич. группой k-преобразований. Напр., - присоединенное действие или действие посредством сдвигов, является А. г. п. Если G - алгебраич. подгруппа в GL(n), - ее естественное действие в аффинном пространстве - А. г. п. Для всякой точки через обозначается орбита х, а через - стабилизатор х. Орбита не обязательно замкнута в V, но всегда существуют замкнутые орбиты, напр, замкнутые орбиты минимальной размерности. Иногда под А. г. п. понимается алгебраич. группа G, действующая рационально (но не обязательно регулярно) на алгебраич. многообразии V(это значит, что - рациональное отображение, а выписанные выше свойства т выполнены для общих точек). Как показал А. Вейль [3], всегда существует многообразие бирационально изоморфное Vи такое, что действие индуцированное рациональным действием Gна V, регулярно. Задачи описания орбит, стабилизаторов, полей инвариантных рациональных функций (см. Инвариантов теория).и построения фактормногообразий являются основными в теории А. г. п. и имеют многочисленные применения.

Лит.: [1]Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Дьедонне Ж., Керрол Д ж., Мамфорд Д., Гее метрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974; [3] Well A., "Amer. J. Math.", 1955, v. 77, Ms 2, p. 355-91. В. <П. <Платонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985