Математическая энциклопедия

Алгебраическая К-теория

Алгебраическая К-теория
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ K-ТЕОРИЯ

- раздел алгебры, к-рый в основном занимается изучением К-функторов по существу - это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощенно, это - обобщение результатов о существовании и единственности (с точностью до автоморфизма) базиса векторного пространства и других общих теоретико-групповых фактов о линейных группах над полями. При переходе от поля к произвольному кольцу Rэти теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротен-дика и Уайтхеда в нек-ром смысле, являются мерой отклонения от их истинности. Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры возникают и в топологии. Векторное пространство можно рассматривать как частный случай векторного расслоения. Гомотопич. теория векторных расслоений и топологич. К-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. В А. К- т . широко используются теория колец, гомологич. алгебра, теория категорий и теория линейных групп.

А. K-т. имеет два различных историч. источника, оба лежащих в геометрии. Первый связан с нек-рыми топологич. препятствиями. Исходным пунктом было введение понятия Уайтхеда кручения, связанного с гомотоппч. эквивалентностью конечных комплексов и лежащего в группе Уайтхеда, являющейся нек-рой факторгруппой группы - целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы П. Следующий шаг связан с рассмотрением топологич. пространства X, доминируемого конечным комплексом, и его обобщенной эйлеровой характеристики лежащей в группе Вычисление групп Уайтхеда и L-групп, являющееся в принципе алгебраич. задачей о групповых кольцах, и было одной из первых целей А. К-т. К 2 и другие высшие функторы имеют топологич. приложения такого же типа (напр., препятствие для деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия в изотонию лежит в нек-рой факторгруппе группы . Алгебраич. изучение группы Уайтхеда началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение структуры линейных групп над произвольными кольцами, в частности теория определителей над телами (см. [10]).

Второй источник А. К- т .- алгебраич. доказательство А. Гротендиком (A. Grothendieck) в 1957 теоремы Римана - Роха (см. [7]) и ее обобщений. В этом доказательстве был введен K-функтор К(Х).как группа значений универсальной аддитивной функции на когерентных пучках на гладком алгебраич. многообразии. Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений, Битта кольца классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Затем К-функтор был перенесен в топологию, где нашел многочисленные применения, сделав возможным решение многих недоступных ранее задач.

Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открывает новые перспективы в понимании старых проблем анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологии), теории представлений групп. Развитию А. K-т. для колец (начавшемуся с установления соответствия (аналогии) между проективными конечно порожденными модулями и векторными расслоениями) препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога понятия надстройки в топологии.

В 50 -60-х гг. 20 в. подверглись систематич. изучению проективные модули над конечными группами, была развита одна-из важнейших идей, лежащая в основе А. K-т.,- идея "стабилизации", состоящая, грубо говоря, в том, что общие закономерности проявляются более отчетливо при переходе к пределу по размерности рассматриваемых объектов (напр., линейных групп или проективных модулей). Были обнаружены связи А. K-т. с взаимности законами в теории алгебраич. чисел и алгебраич. функций, исследованы вопросы, связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраич. аналог Ватта теоремы периодичности - теория полиномиальных расширений.

Для кольца R с единицей группа Гротендика K0(R).определяется как абелева группа, образующими к-рой служат классы изоморфных конечно порожденных проективных Я-модулей, с определяющими соотношениями


где - класс модулей, изоморфных модулю Р. Пусть - полная линейная группа над вложение - прямой предел групп - подгруппа в порожденная элементарными матрицами т. е. матрицами с элементом на г, ;'-м месте, и совпадающая с единичной матрицей на остальных местах. Тогда Е(R).совпадает с коммутантом группы СL(R). Факторгруппа GL(R)/E(R). обозначается через K1(R).и наз. группой Уайтхеда. Наконец, группа Стейнберга при определяется в образующих соотношениями


Переходя к прямому пределу, получают группу и естественный гомоморфизм


при к-ром



Ядро ker обозначается через (группа Милнора). Оно совпадает с центром группы St(R). Таким образом, - функторы из категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из функторов K0 и K1 может быть охарактеризован как функтор, сопоставляющий конечно порожденному проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий нек-рым свойствам и универсальный относительно этих свойств. Такая "универсальная" характеризация позволяет определить аналог функторов K0 и K1 на "достаточно хороших" категориях. В частности, для категории нётеровых R-модулей получаются весьма близкие к Ki-(R) функторы G i -(R).

Примеры групп Ki(R). Если R - тело, - его мультипликативная группа, то - группа целых чисел, - циклич. группа 2-го порядка. Если R - конечное поле, то K2(R) = 0.

Важным результатом в А. K-т. является точная последовательность Майера- Вьеториса для декартова квадрата. Именно, если диаграмма -


декартов квадрат гомоморфизмов колец, в к-ром - эпиморфизм, то точна последовательность


причем, если также эпиморфизм, то последовательность дополняется членами


Если I - двусторонний идеал кольца R, то последовательность Майера - Вьеториса позволяет (см. [8]) определить относительные функторы Ki -(R, I), дающие точную последовательность


Достаточно полно исследован вопрос о поведении K- функторов при переходе от кольца R к его локалнза-цпл по центральной мультипликативно замкнутой системе. В частности, при соответствующих условиях на кольцо Rдля функтора С 0(R) получена точная последовательность