Математическая энциклопедия

Алгебраическая Система

Алгебраическая Система
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

- множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50-х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой.

Основные понятия. Алгебраической системой наз. объект состоящий из непустого множества А, семейства О алгебраических операций о i: и семейства R отношений заданных на множестве А. Показатели рассматриваемых декартовых степеней множества Апредполагаются целыми неотрицательными числами и наз. арностями соответствующих операций и отношений. Множество Аназ. носителем, или основным множеством, А. с. , а его элементы - элементами этой системы. Мощность множества Аназ. мощностью, или порядком, А. с. . Образ элемента при отображении наз. значением операции в точке Аналогично, если то говорят, что элементы из Анаходятся в отношении и пишут Операции и отношения в отличие от других операций и отношений, к-рые могут быть определены на множестве А, наз. основными, или главными.

Пара семейств наз. типом А. с. Две А. с. однотипны, если для всех Основные операции и основные отношения однотипных А. с. имеющих одинаковые индексы в I, J соответственно, наз. одноименными.

А. с. наз. конечной, если множество конечно, иконечного типа, если множество конечно, А. с. А конечного типа записывают в виде А=(A;o1,...,os, r1,...,rt).

А. с. А=(A, O, R) наз. универсальной алгеброй, или алгеброй, если множество R основных отношений ее является пустым, в моделью, или реляционной системой, если множество Оосновных операций ее пустое. Классическими А. с. являются группы, кольца, линейные пространства, линейные алгебры, линейно упорядоченные множества, линейно упорядоченные группы, линейно упорядоченные кольца, решетки и т. д.

Непустое подмножество Восновного множества АА. с. А=бA, O, Rс наз. замкнутым, если для любых элементов из Взначение каждой основной операции также принадлежит множеству В. Рассматривая операции из О и отношения из R на замкнутом подмножестве В, Мы получим А. с. однотипную данной и наз. подсистемой Подсистемы алгебр наз. подалгебрами, а подсистемы моделей -подмоделям и. Понятие подалгебры существенно зависит от множества основных операций рассматриваемой алгебры. Напр., группоид есть алгебра типа (2), т. е. алгебра с одной основной операцией Группоид с выделенной единицей еесть алгебра типа выделенный элемент к-рой обладает по отношению к основной операции о:. свойством для всех Поэтому всякий подгруппоид группоида с выделенной единицей содержит тогда как подгруппоид группоида не обязан содержать элемент В отличие от алгебр, любое непустое подмножество модели может рассматриваться как подмодель.

изоморфна однотипной если существует такое взаимно однозначное отображение множества что


для всех из Аи для всех Отображение с этими свойствами наз. изоморфизмом. Под классом алгебраич. систем понимается в дальнейшем только абстрактный класс, т. е. такой класс однотипных А. с., к-рый содержит с каждой системой и все изоморфные ей системы. При рассмотрении того или иного класса А. с. все системы из этого класса записывают обычно в определенной сигнатуре следующим образом. Пусть класс имеет тип Каждому сопоставляют нек-рый символ наз. функциональным, а каждому - символ наз. предикатным. Если А. с. А принадлежит классу - основная операция в ней, то элемент из Азаписывают в виде Аналогично, если - основное отношение в Аи элемент то пишут (истинно) или просто Если же то пишут (ложно) или Пусть - отображение объединения в множество натуральных чисел определяемое формулами: Объект наз. сигнатурой класса Конечную сигнатуру записывают в виде строки или короче записанная в сигнатуре и обозначается

Условия (1), (2) изоморфизма однотипных систем упрощаются, если эти системы рассматривать в одной сигнатуре Так, если сигнатурными символами будут то (1), (2) примут вид


Гомоморфизмом -системы в -систему наз. всякое отображение удовлетворяющее условию (3) и условию


для всех и для всех из А. Гомоморфизм наз. сильным, если для любых элементов из и для любого предикатного символа соотношение Pj(b1,...,bmj) влечет существование в Атаких прообразов элементов для к-рых Понятия гомоморфизма и сильного гомоморфизма алгебр совпадают. Для моделей существуют гомоморфизмы, к-рые не являются сильными, и взаимно однозначные гомоморфизмы, к-рые не являются изоморфизмами. При гомоморфизме образами в подсистем из и непустыми полными прообразами в подсистем из являются подсистемы.

Эквивалентность паз. конгруэнцией если


для всех из Аи для всех Для каждого гомоморфизма бинарное отношение истинное тогда и только тогда, когда является конгруэнцией в , к-рая наз. ядерной. Для произвольной конгруэнции системы и для каждого элемента множество наз. смежным классом по конгруэнции Полагая для каждых и тогда и только тогда, когда существуют такие элементы в , что и мы получим А. с. однотипную данной и наз. факторсистемой А. с. по конгруэнции . Для каждой конгруэнции А. с. канонич. отображение является гомоморфизмом А. с. на факторсистему для которого данная конгруэнция ядерная. Если есть гомоморфизм А. с. на А. с. и - ядерная конгруэнция для то отображение является гомоморфизмом факторсистемы на Если при этом гомоморфизм сильный, то есть изоморфизм.

Декартовым произведением -систем наз. -система в к-рой Dесть декартово произведение основных множеств а основные операции и основные отношения на Dзадаются условиями: есть элемент с координатами тогда и только тогда, когда для всех

Язык 1-й ступени. Основным формальным языком теории А. с. является язык 1-й ступени L, к-рый строится следующим образом. Алфавит языка Lв заданной сигнатуре состоит из предметных переменных функциональных символов предикатных символов символов логич. связок:

кванторов:

- "для каждого элемента ",
- "существует такой элемент "

и вспомогательных символов: скобок и запятых. Для выражения свойств (1-Й ступени) Q-систем употребляются конечные последовательности алфавитных символов, или слова, составленные по определенным правилам и наз. термами и формулами. Индуктивно полагают, что каждое слово вида при есть терм; если - термы и то - также терм.

Если есть -система и - терм сигнатуры содержащий предметные переменные то, заменяя к.-н. элементами из Аи выполняя над последними операции в соответствующие входящим в терм символам из получают элемент из А , называемый значением терма при Если - гомоморфизм -системы в -систему , то


Понятие формулы сигнатуры Q, свободных и связанных предметных переменных в ней определяется также индуктивно:

1) Если - какой-нибудь предикатный символ из или знак равенства или 2 соответственно, а - произвольные термы сигнатуры то слово есть формула, в к-рой все предметные переменные свободны.

2) Если - формула, то - также формула. Свободные (связанные) предметные переменные в формуле те и только те, к-рые являются свободными (связанными) в

3) Если - формулы и предметные переменные, входящие одновременно в обе эти формулы, свободны в каждой из них, то слова


- также формулы.

Предметные переменные, свободные (связанные) хотя бы в одной из формул наз. свободными (связанными) и в формулах (6).

4) Если предметное переменное входил свободно в формулу то слова снова являются формулами, в к-рых переменное связанное, а все остальные предметные переменные, входящие в формулу свободно или связанно, остаются такими же и в формулах

Если заданы -система и формула сигнатуры , то придавая всем свободным предметным переменным какие-нибудь значения из и интерпретируя функциональные и предикатные символы, входящие в как соответствующие основные операции и основные отношения в мы получим конкретное высказывание, к-рое будет истинным или ложным. В соответствии с этим формуле приписывают значение при обозначаемое Если - изоморфное отображение -системы на -систему , то


для всех из А.

Формула наз. замкнутой, если она не содержит свободных предметных переменных. Для любой замкнутой формулы сигнатуры и произвольной -системы можно говорить об истинности или ложности Совокупность замкнутых формул данной сигнатуры И наз. выполнимой, или совместной, если существует Q-система, в к-рой истинны все формулы из

Теорема компактности или локальная теорема Гёделя - Мальцева. Если выполнима каждая конечная часть бесконечной совокупности замкнутых формул какой-то сигнатуры то выполнима и вся совокупность