Математическая энциклопедия

Алгебраическая Точка Ветвления

Алгебраическая Точка Ветвления
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОЧКА ВЕТВЛЕНИЯ

а л-гебраическая особая точка,- изолированная точка ветвления аконечного порядка аналитич. функции обладающая тем свойством, что для любого элемента аналитич. родолжения этой функции, регулярного в области, имеющей точку а граничной точкой, существует предел Точнее, точка а плоскости комплексного переменного , являющаяся особой для полной аналитической функции при продолжении нек-рого правильного элемента этой функции с центром вдоль путей, проходящих через а, наз. алгебраической точкой ветвления, если выполняются следующие условия. 1) Существует такое положительное число , что элемент может быть продолжен вдоль любой непрерывной кривой, лежащей в кольце 2) Существует такое натуральное , что если - любая точка кольца D, то аналитич. родолжение элемента в кольце Dдает в точности kразличных элементов функции с центром ; если -какой-либо элемент с центром , то все остальные элементов с центром получаются аналитич. родолжением по замкнутым путям, охватывающим точку а. 3) Значения всех элементов, получаемых из продолжением в Dв точках кольца D, стремятся к определенному, конечному пли бесконечному, пределу, когда стремится к а, оставаясь в D.

Число k-1 наз. порядком А. т. в. Все ветви функции получаемые аналитнч. продолжением элемента в кольце D, могут быть представлены в проколотой окрестности точки апри помощи обобщенного ряда Лорана (ряда Пюизё):


Бесконечно удаленная точка наз. А. т. в. для функции, если точка является А. т. в. функции

Может существовать несколько (и даже бесконечно много) различных А. т. в. и правильных точек полной аналитпч. функции с одним и тем же аффиксом а.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических Функций, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 8; [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 3, гл. 4.

Е. Д. Соломснцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985