Математическая энциклопедия

Алгебраический Многочлен Наилучшего Приближения

Алгебраический Многочлен Наилучшего Приближения
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

- многочлен, наименее уклоняющийся от заданной функции. Точнее, пусть измеримая функция f(x).интегрируема с р-й степенью на - множество алгебраич. многочленов степени не выше п. Величину


наз. наилучшим приближением, а многочлен, для к-рого нижняя грань достигается, наз. алгебраическим многочленом наилучшего приближения в . Многочлены, наименее уклоняющиеся от данной непрерывной функции в равномерной метрике, впервые встретились (1852) у П. Л. Чебышева и были исследованы им в 1856 (см. [1]). Доказательство существования А. м. н. п. дано Э. Борелем [2]. П. Л. Чебышев показал, что является А. м. н. п. в равномерной метрике тогда и только тогда, когда у разности существует чебышевский алътернанс;в этом случае такой многочлен единствен. При А. м. н. п. единствен в силу строгой выпуклости пространства При единственности нет, но для непрерывных функций единственность А. м. н. п. доказана Д. Джексоном {3]). Скорость стремления к нулю оценивается в Джексона теореме.

Аналогично (*) определяется А. м. н. п. для большого числа тпеременных. Если число переменных m>=2, то А. м. н. п. (в равномерной метрике), вообще говоря, не единствен.

Лит.:[1] Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, т. 2, М., 1947, с. 478, с. 152-236; [2] Воrе1 Е., Logons sur les functions de variables reelles et les developpements en serie de polynomes, P., 1905; [3] Jackson D., "Amer. J. Math.", 1924, v.46; [4] Гаркави А. Л., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1967, М., 1969. Ю. Н. Субботин,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985