Математическая энциклопедия

Алгебраический Тор

Алгебраический Тор
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТОР

- алгебраическая группа, изоморфная над нек-рым расширением основного поля прямому произведению конечного числа мультипликативных групп . Группа всех гомоморфизмов А. т. наз. группой характеров А. т. Т;она является свободной абелевой группой ранга, равного размерности А. т. Т. Если А. т. Топределен над полем , то наделяется структурой G-модуля, где Gесть группа Галуа алгебраич. замыкания поля k. Функтор определяет двойственность между категорией А. т. над k и категорией -свободных G-модулей конечного ранга. А. т., изоморфный произведению групп над своим полем определения k, наз. расщепимым над k;всякий А. т. расщепляется над конечным сепарабельным расширением поля k. В теории алгебраич. групп А. т. играет роль, весьма схожую с ролью торов в теории групп Ли. Изучение А. т., определенных над полем алгебраич. чисел, занимает важное место в вопросах арифметики н классификации алгебраич. групп (см. Линейная алгебраическая группа, Тамагавы число).

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] О п о Т., "Ann. Math.", 1961, v. 74, p. 101-39; 13] его же, "Ann. Math.", 1963, v. 78, p. 47-73.

В. Е. Воскресенский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985