Математическая энциклопедия

Алгебраически Замкнутое Поле

Алгебраически Замкнутое Поле
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ

поле А:, в к-ром всякий многочлен ненулевой степени над kимеет хотя бы один корень. В действительности, из алгебраич. замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени пнад kимеет в kровно пкорней, т. е. каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов k[х]имеет степень 1. Поле kалгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраич. расширения (см. Расширение поля).

Существует единственное с точностью до изоморфизма алгебраич. расширение поля k, являющееся А. з. п.; оно наз. алгебраическим замыканием поля kи обычно обозначается через k. Всякое А. з. п., содержащее k, содержит подполе, изоморфное k.

Алгебраич. замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраич. замкнутость устанавливается Алгебры, основной теоремой.

Лит.:[1 ] 3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 1, пер. с англ., М., 1963; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985