Математическая энциклопедия

Алгебраических Систем Квазимногообразие

Алгебраических Систем Квазимногообразие
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ

- класс алгебраич. систем ( -систем), аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич. языка 1-й ступени, к-рые наз. квазитождествами, или условными тождествами, и имеют вид:


где - термы сигнатуры от предметных переменных . В силу теоремы Мальцева [1], А. с. к. сигнатуры может быть определено также как абстрактный класс -систем, содержащий единичную -систему и замкнутый относительно подсистем и фильтрованных произведений (см. [1], [2]). Аксиоматизируемый класс -систем является квазимногообразием тогда и только тогда, когда он содержит единичную -систему и замкнут относительно подсистем и декартовых произведений. Если - квазимногообразие сигнатуры , то подкласс тех систем , которые изоморфно вложимы в подходящие системы из некоторого квазимногообразия сигнатуры , сам является квазимногообразием. Напр., класс полугрупп, вложимых в группы, есть квазимногообразие; класс ассоциативных колец без делителей нуля, вложимых в ассоциативные тела, также является квазимногообразием.

Квазпмногообразие сигнатуры наз. конечно определимым (или обладающим конечным базисом квазитождеств), если существует такое конечное множество квазитождеств сигнатуры , что состоит из тех и только тех -систем, в к-рых истинны все формулы из множества . Напр., квазимногообразне всех полугрупп с сокращением определяется двумя квазитождествами


и потому конечно определимо. Напротив, квазимногообразне полугрупп, вложпмых в группы, не имеет конечного базиса квазитождеств (см. [1], [2]).

Если - произвольный (не обязательно абстрактный) класс -систем, то наименьшее среди квазимногообразий, содержащих , наз. импликативным замыканием класса . Оно состоит из подсистем изоморфных копий фильтрованных произведений -систем из класса где - единичная система. Если - импликатпвное замыкание класса -систем , то наз. порождающим классом квазимногообразия . Квазимногообразие порождается одной системой тогда и только тогда, когда для любых двух систем существует в классе система содержащая подсистемы, изоморфные системам (см. [1]). Всякое квазимногообразие содержащее неодноэлементную систему, обладает свободными системами любого ранга, к-рые являются одновременно свободными системами в эк-вациональном замыкании класса Квазимногообразия -систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном квазимногообразия сигнатуры , составляют полную решетку относительно теоретико-множественного включения. Атомы решетки всех квазпмногообразий сигнатуры наз. минимальными квазимногообразиями сигнатуры . Минимальное квазимногообразие порождается любой своей неединичной системой. Каждое квазимногообразие , обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное квазнмногообразне. Если - квазимногообразие -систем конечной сигнатуры , то все его подквазимногообразия составляют группоид относительно мальцевского -умножения (см. [3]).

Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; Г2]Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Мальцев А. И., "Снб. матем. ж.", 1967, т. 8, № 2, с. 346-65. Д. М. Смирнов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985