Математическая энциклопедия

Алгебраической Системы Автоморфизм

Алгебраической Системы Автоморфизм
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ

Ч изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом (А.)010119-91.jpg -системы 010119-92.jpg наз. всякое взаимно однозначное отображение 010119-93.jpgмножества Ана себя, обладающее свойствами:

010119-94.jpg

для всех 010119-95.jpg. из Аи для всех 010119-96.jpgиз 010119-97.jpg. Другими словами, А.010119-98.jpg -системы 010119-99.jpgесть изоморфное отображение системы 010119-100.jpgна себя. Пусть 010119-101.jpgЧ множество всех А. системы 010119-102.jpg. Если 010119-103.jpg, то обратное отображение 010119-104.jpgтакже обладает свойствами (1), (2) и поэтому 010119-105.jpgПроизведение 010119-106.jpgА. 010119-107.jpgсистемы 010119-108.jpg, определяемое формулой 010119-109.jpgснова является А. системы 010119-110.jpg . Поскольку умножение отображений ассоциативно, то 010119-111.jpgесть группа, наз. группой всех A системы 010119-112.jpgи обозначаемая через 010119-113.jpg. Подгруппы группы 010119-114.jpgназ. просто группами А. системы 010119-115.jpg.

Пусть 010119-116.jpgЧ А. системы 010119-117.jpg и 010119-118.jpgЧ конгруэнция этой системы. Полагая

010119-119.jpg

получим снова конгруэнцию 010119-120.jpgсистемы 010119-121.jpg.А.010119-122.jpgназ. - автоморфизмом, если 010119-123.jpg для любой конгруэнции 010119-124.jpgсистемы 010119-125.jpg. Множество 010119-126.jpgвсех 010119-127.jpg автоморфизмов системы 010119-128.jpg является нормальным делителем группы 010119-129.jpg, и факторгруппа 010119-130.jpg изоморфна нек-рой группе А. решетки всех конгруэнции системы 010119-131.jpg. В частности, всякий внутренний А. 010119-132.jpg группы, определяемый к.-л. фиксированным элементом аэтой группы, является -автоморфизмом. Однако пример циклич. группы простого норядка показывает, что не всякий -автоморфизм группы Ч внутренний.

Пусть 010119-133.jpgЧ нетривиальное многообразие 010119-134.jpg -систем или к.-л. другой класс 010119-135.jpg -систем, обладающий свободными системами любого (ненулевого) ранга. А. 010119-136.jpgсистемы 010119-137.jpg из класса 010119-138.jpgназ. I-автоморфизмом, если существует терм 010119-139.jpg сигнатуры 010119-140.jpg от неизвестных 010119-141.jpgдля к-рого: 1) в системе 010119-142.jpgсуществуют такие элементы 010119-143.jpgчто для каждого элемента 010119-144.jpgимеет место равенство

010119-145.jpg

2) для любой системы 010119-146.jpgиз класса 010119-147.jpgотображение

010119-148.jpg

является А. этой системы при любом выборе элементов 010119-149.jpg в системе 010119-150.jpg. Множество 010119-151.jpgвсех 010119-152.jpg -автоморфизмов каждой системы 010119-153.jpgиз класса 010119-154.jpgявляется нормальным делителем группы 010119-155.jpg. В классе 010119-156.jpgвсех групп понятие 010119-157.jpg -автоморфизма совпадает с понятиен внутреннего А. группы [2]. Более общее понятие формульного А.010119-158.jpg -системы см. в [3].

Пусть 010119-159.jpgЧ алгебраич. система. Заменяя каждую основную операцию 010119-160.jpgв 010119-161.jpgпредикатом

010119-162.jpg

получим так наз. модель 010119-163.jpg, представляющую систему 010119-164.jpg. Справедливо равенство 010119-165.jpg

Если системы 010119-166.jpgимеют общий носитель A и 010119-167.jpg, то 010119-168.jpg. Если 010119-169.jpg система 010119-170.jpgс конечным числом порождающих финитно аппроксимируема, то группа 010119-171.jpg также финитно аппроксимируема (см. [1], с. 432). Пусть 010119-172.jpgЧ класс 010119-173.jpg -систем и пусть 010119-174.jpgЧ класс всех изоморфных копий групп 010119-175.jpg а 010119-176.jpgЧ класс подгрупп групп из класса 010119-177.jpg. Класс 010119-178.jpg состоит из групп, изоморфно вложимых в группы Aut(A) 010119-179.jpg.

В исследовании групп А. алгебраич. систем выделились следующие две проблемы.

1)   Пусть дан класс 010119-180.jpg 010119-181.jpg -систем. Что можно сказать о классах 010119-182.jpg и010119-183.jpg?