Математическая энциклопедия

Алгебраическое Число

Алгебраическое Число
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО

Ч комплексное (в частности, действительное) число, являющееся корнем многочлена 010119-51.jpg

с рациональными коэффициентами, из к-рых не все равны нулю. Если 010119-52.jpgЧ А. ч., то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих 010119-53.jpg своим корнем, существует единственный многочлен 010119-54.jpgнаименьшей степени со старшим коэффициентом, равным 1, и, следовательно, неприводимый (см. Неприводимый многочлен). Он наз. каноническим, или минимальным, многочленом А. ч.010119-55.jpg. Степень пканонич. многочлена 010119-56.jpgназ. степенью А. ч.010119-57.jpg. Существование неприводимых многочленов любой степени побусловливает существование А. ч. степени п. Все рациональные числа, и только они, являются А. ч. 1-й степени. Число г есть А. ч. 2-й степени как корень многочлена 010119-58.jpg при любом натуральном песть А. ч. степени пкак корень неприводимого многочлена 010119-59.jpg.

Корни а х, . . ., аД канонич. многочлена наз. числами» сопряженными с А. ч.010119-60.jpg,и тоже являются А. ч-степени п. Все числа, сопряженные с 010119-61.jpg, различны-■ Важной характеристикой А. ч., кроме степени, является его высота (аналог знаменателя рациональной дроби). Высотой А. ч. 010119-62.jpgназ. наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми рациональными коэффициентами, имеющем 010119-63.jpgсвоим корнем. Сумма, разность, произведение и частное двух А. ч. (кроме деления на нуль) суть А. ч., т. е. множество всех А. ч. образует поле. Корень многочлена с алгебраич. коэффициентами есть А. ч.

А. ч. наз. целым, если все коэффициенты в его канонич. многочлене Ч целые рациональные числа. Напр., 010119-64.jpg и 010119-65.jpgЧ целые А. ч. как корни многочленов 010119-66.jpg и 010119-67.jpg.

Понятие целого А. ч. является обобщением понятия целого рационального числа (целое рациональное число 010119-68.jpg есть целое А. ч. как корень многочлена 010119-69.jpg). Многие свойства целых рациональных чисел сохраняются и для целых А. ч. Так, целые А. ч. образуют кольцо. Однако действительные целые А. ч. образуют всюду плотное множество, в то время как целые рациональные Ч дискретное множество. В 1872 Г. Кантор (G. Kantor) доказал, что множество всех А. ч. счетно, откуда следовало существование трансцендентных чисел.

Корень любого (не обязательно неприводимого) многочлена с целыми рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, является целым А. ч. Более того, корень многочлена с целыми алгебраич. коэффициентами и старшим коэффициентом 1 есть целое А. ч. В частности, корень любой степени киз целого А. ч. есть целое А. ч. Для всякого А. ч.010119-70.jpg существует такое натуральное 010119-71.jpg, что 010119-72.jpgЧ целое А. ч. (аналогия с рациональными числами). В качестве наименьшего возможного числа 010119-73.jpg можно взять модуль старшего коэффициента в неприводимом и примитивном многочлене с целыми рациональными коэффициентами, имеющем 010119-74.jpgсвоим корнем. Все сопряженные целого А. ч. <Ч тоже целые А. ч.

Говорят, что целое А. ч. 010119-75.jpg делится на целое А. ч. 010119-76.jpg , если существует целое А. ч. 010119-77.jpg, для к-рого 010119-78.jpg . Для целых А. ч. справедливы многие свойства делимости, к-рые имеют место для целых рациональных чисел.

Целое А. ч. 010119-79.jpgназ. алгебраич. единицей (коротко Ч единицей), если оно делит число 1, т. е. если 010119-80.jpgЧ целое А. ч. Единица делит любое целое А. ч. Число, обратное единице, есть единица; числа, сопряженные с единицей, суть единицы; каждый делитель единицы есть единица; произведение конечного числа единиц есть единица. Целое А. ч. будет единицей тогда и только тогда, когда произведение всех его сопряженных равно 010119-81.jpg. Корни k-й степени из числа 1 являются единицами, причем каждая из них по модулю равна 1. Существует бесконечное множество других единиц, не равных по модулю 1. Напр., числа 010119-82.jpg и 010119-83.jpgявляются единицами как корни многочлена 010119-84.jpg . Но среди их степеней найдутся единицы, сколь угодно малые и сколь угодно большие по величине. В поле рациональных чисел имеются лишь две единицы 010119-85.jpg

Два целых А. ч. наз. ассоциированными, если они отличаются множителем, являющимся единицей. Имеется еще одно важное отличие кольца целых А. ч. от кольца целых рациональных чисел. В первом Ч нельзя ввести понятие неразложимого целого числа (аналог простого числа). Это видно хотя бы из того, что корень из любого целого А. ч. есть целое А. ч. Понятие неразложимого числа (с точностью до класса ассоциированных чисел) можно ввести в нек-рых подполях поля всех А. ч., так наз. алгебраических полях. Но оказывается, что в таких полях разложение целого А. ч. на неразложимые сомножители не всегда однозначно.