Математическая энциклопедия

Алгебраическое Пространство

Алгебраическое Пространство
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

обобщение понятия схемы и алгебраического многообразия. К этому обобщению приводят нек-рые конструкции алгебраич. геометрии: схемы Гильберта, схемы Пикара, мнoгообразия модулей, стягивания, не выполнимые зачастую в категории схем и требующие расширения ее. В то же время категория А. п. замкнута относительно таких конструкций, что позволяет считать А. п. естественным объектом алгебраич. геометрии.

Любая схема S определяет нек-рый пучок в э тальной топологии категории схем, к-рый в свою очередь однозначно определяет схему S. Алгебраическим пространством называется пучок множеств Fв этальной топологии схем, удовлетворяющей условию локальной представимости (в этальной топологии): существует схема Uи морфизм пучков такие, что для любой схемы Vи морфизма расслоенное произведение представляется схемой ,причем индуцированный морфизм схем есть сюръективный этальный морфизм. Схема при этом называется этальным покрытием пучка , к-рый является факторпучком пучка по этальному отношению эквивалентности Последнее вскрывает геометрический смысл А. п. как факторсхемы по этальному отношению эквивалентности. Морфизмы А. п. определяются как морфизмы пучков; категория схем отождествляется при этом с полной подкатегорией категории А. п.

На А. п. распространяются многие понятия теории схем: точка, локальное кольцо, этальная топология, топология Зариского, поле функций, структурный пучок, когерентные пучки. Многие результаты теории схем, таких, как критерий аффинности Серра (см. Аффинная схема), теорема конечности и существования для собственного морфизма, переносятся на А. п.

Более тонкие результаты - представимость функторов Пикара и Гильберта в категории А. п. Если на А. п. задано плоское отношение эквивалентности, то факторизация по нему дает А. п. (такая ситуация возникает, например, при свободном действии на пространстве конечной группы). Наконец, А. п. допускает стягивание подпространства с обильным конормальным пучком.

Каждое А. п. содержит открытое и плотное в топологии Зариского подпространство, являющееся схемой. Одномерные и неособые двумерные А. п. будут схемами, однако это уже не верно для трехмерных и особых двумерных А. п.; группа в категории А. п. над полем есть схема. Полные А. п. размерности пнад полем комплексных чисел имеют естественную структуру компактного аналитич. ространства с n. алгебраически независимыми мероморфными функциями.

Лит.:[1] Артин М., "Успехи матем. наук", 1971, т. 26, в. 1 (157), с. 181-205; [2] Кnutson D., Algebraic spaces, В., 1971. В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985