Математическая энциклопедия

Алгебраическое Уравнение

Алгебраическое Уравнение
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

- уравнение вида где - многочлен n -й степени от одного или нескольких переменных . А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида:


Здесь п - целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является искомым. Коэффициенты А. у. (1) предполагаются не все равными нулю. Если то наз. степенью уравнения.

Значения неизвестного х, к-рые удовлетворяют уравнению (1), т. е. при подстановке вместо хобращают уравнение в тождество, наз. корнями уравнения (1), а также корнями многочлена

fn(x) = a0xn+ a1xn-1+...+an.(2)

Корни многочлена связаны с его коэффициентами по формулам Виета (см. Виета теорема). Решить уравнение - значит найти все его корни, лежащие в рассматриваемой области значений неизвестного.

Для приложений наиболее важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения - числа той или иной природы (напр., рациональные, действительные или комплексные). Рассматривается также и случай, когда коэффициенты и корни - элементы произвольного поля. Если данное число (или элемент поля) с - корень многочлена fn (х), то согласно Безу теореме fn (х).делится на х- с без остатка. Деление можно выполнять по Горнера схеме.

Число (или элемент поля) с наз. k-к ратным корнем многочлена f(x)(k - натуральное число), если f(x).делится на ( х- с)k, но не делится на (x-с)k+1. Корни кратности 1 наз. простыми корнями многочлена.

Каждый многочлен f(x).степени n>0 с коэффициентами из поля Римеет в поле Рне более пкорней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность (и, значит, не более празличных корней).

В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен степени пимеет ровно пкорней (считая их кратность). В частности, это справедливо для поля комплексных чисел.

Уравнение (1) степени пс коэффициентами из поля Рназ. неприводимым над полем Р, если многочлен (2) неприводим над этим полем, т. е. не может быть представлен в виде произведения других многочленов над полем Р, степени к-рых меньше п. В противном случае многочлен и соответствующее уравнение наз. приводимыми. Многочлены нулевой степени и сам нуль не причисляются ни к приводимым, ни к неприводимым. Свойство данного многочлена быть приводимым или неприводимым над полем Рзависит от рассматриваемого поля. Так, многочлен х 2-2 неприводим над полем рациональных чисел, т. к. иначе он имел бы рациональные корни, но приводим над полем действительных чисел: х 2 -2=(х+ Ц2)( х- Ц2) . Аналогично, многочлен х 2 +1 неприводим над полем действительных чисел, но приводим над полем комплексных чисел. Вообще, над полем комплексных чисел неприводимы только многочлены 1-й степени, и всякий многочлен может быть разложен на линейные множители. Над полем действительных чисел неприводимы только многочлены 1-й степени и многочлены 2-й степени, не имеющие действительных корней (и всякий многочлен разлагается в произведение линейных и неприводимых квадратных многочленов). Над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любых степеней, таковы, напр., многочлены вида Неприводимость многочлена над полем рациональных чисел устанавливается критерием Эйзенштейна: если для многочлена (2) степени с целыми коэффициентами существует простое число р такое, что старший коэффициент не делится на р, все остальные коэффициенты делятся на , а свободный член не делится на то этот многочлен не-нриводим над полем рациональных чисел.

Пусть Р - произвольное поле. Для любого многочлена степени неприводимого над полем Р, существует такое расширение поля Р, в к-ром содержится хотя бы один корень многочлена более того, существует поле разложения многочлена т. е. расширение поля Р, в к-ром этот многочлен может быть разложен на линейные множители. Любое поле имеет алгебраически замкнутое расширение.

 

Разрешимость алгебраических уравнений в радикалах. Всякое А. у. степени, не превосходящей 4, решается в радикалах. Решение задач, приводящихся к частным видам уравнении 2-й и 3-й степеней, можно найти еще в древнем Вавилоне (2000 лет до н. э.) (см. Квадратное уравнение, Кубическое уравнение). Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге Диофанта «Арифметика» (3 в. н. э.). Решение в радикалах уравнений 3-Й л 4-Й степенен с буквенными коэффициентами было получено итальянскими математиками в 16 в. (см. Кардано формула, Феррари метод). В течение почти 300 лет после этого делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнение с буквенными коэффициентами 5-й и более высоких степеней. Наконец, в 1826 Н. Абель (N. Abel) доказал, что такое решение невозможно.

Современная формулировка теоремы Абеля: пусть (1) Ч уравнение степени 010119-1.jpgс буквенными коэффициентами 010119-2.jpgЧ любое поле и РЧ поле рациональных функций от 010119-3.jpgс коэффициентами из К; тогда корни уравнения (1) (лежащие в нек-ром расширении поля Р) нельзя выразить через коэффициенты этого уравнения при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения, деления (имеющих смысл в поле Р) и знаков корня (имеющих смысл в расширении поля Р). Иными словами, общее уравнение степени n>4 неразрешимо в радикалах (см. [3], с. 226).

Теорема Абеля не исключает, однако, того, что каждое А. у. с данными числовыми коэффициентами (или коэффициентами из данного поля) решается в радикалах. Уравнения любой степени пнек-рых частных видов решаются в радикалах (напр., двучленные уравнения). Полное решение вопроса о том, при каких условиях А. у. разрешимо в радикалах, было получено ок. 1830 Э. Галуа (Е. Galois).

Основная теорема Галуа теории о разрешимости А. у. в радикалах формулируется следующим образом: пусть 010119-4.jpgЧ многочлен с коэффициентами из поля K, неприводимый над K; тогда: 1) если хотя бы один корень уравнения 010119-5.jpgвыражается в радикалах через коэффициенты этого уравнения, причем показатели радикалов не делятся на характеристику ноля K, то группа Галуа этого уравнения над полем Кразрешима; 2) обратно, если группа Галуа уравнения f(x) = Q над полем Кразрешима, причем характеристика поля K или равна нулю, или больше всех порядков композиционных факторов этой группы, то все корни уравнения представляются в радикалах через его коэффициенты, причем все показатели встречающихся радикалов 010119-6.jpg Ч простые числа, а соответствующие этим радикалам двучленные уравнения 010119-7.jpg неприводимы над полями, к к-рым эти радикалы присоединяются.

Э. Галуа доказал эту теорему для случая, когда К Ч поле рациональных чисел; при этом все условия на характеристику поля K, содержащиеся в формулировке теоремы, становятся ненужными.

Теорема Абеля является следствием теоремы Галуа, так как группа Галуа уравнения степени пс буквенными коэффициентами над полем Ррациональных функции от коэффициентов уравнения с коэффициентами из любого поля КЧ симметрич. группа 010119-8.jpgи при 010119-9.jpg неразрешима. Для любого 010119-10.jpgсуществуют уравнения степени пс рациональными (и даже целыми) коэффициентами, неразрешимые в радикалах. Примером такого уравнения для 010119-11.jpgможет служить уравнение 010119-12.jpg , где рЧ простое число. В теории Галуа применяется метод сведения решения данного А. у. к цепочке более простых уравнений, наз. резольвентами данного уравнения.

Разрешимость уравнений в радикалах тесно связана с вопросом о геометрич. построениях с помощью циркуля и линейки, в частности задача о делении окружности на n равных частей (см. Деления круга многочлен, Первообразный корень).

Алгебраические уравнения с одним неизвестным с числовыми коэффициентами. Для отыскания корней А. у. с коэффициентами из поля действительных или комплексных чисел степени выше 2-й, как правило, используются методы приближенных вычислений (напр., Парабол метод). При этом удобно сначала освободиться от кратных корней. Число с является k-кратным корнем многочлена 010119-13.jpgтогда и только тогда, когда многочлен и его производные до порядка 1 включительно обращаются в нуль при 010119-14.jpg. Если разделить 010119-15.jpgна наибольший общий делитель 010119-16.jpg этого многочлена и его производной, то получится многочлен, имеющий те же корни, что и многочлен 010119-17.jpg, но только первой кратности. Можно даже построить многочлены, имеющие в качестве простых корней все корни многочлена 010119-18.jpg одинаковой кратности. Многочлен имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

Часто возникают задачи определения границ и числа корней. За верхнюю границу модулей всех корней (как действительных, так и комплексных) А. у. (1) с любыми комплексными коэффициентами можно взять число 010119-19.jpg

В случае действительных коэффициентов более точную границу обычно дает Ньютона метод. К определению верхней границы положительных корней сводится определение нижней границы положительных, а также верхней и нижней границ отрицательных корней.