Аналитическая Теория Дифференциальных Уравнений

Раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в к-ром решения исследуются с точки зрения теории аналитич. функций. Типичная постановка задачи в А. т. д. у. такова: дан нек-рый класс дифференциальных уравнений, все решения к-рых суть аналитич. функции одной переменной; требуется выяснить, какими специфич. свойствами обладают аналитич. функции, являющиеся решениями данного класса уравнений, В таком широком понимании А. т. д. у. включает теорию алгебраич. функций, теорию абелевых интегралов, теорию специальных функций и т. д. Специальные функции — Бесселя функции, Эйри функции, Лежандра функции, Лагерра функции, Эрмита функции, Чебышева многочлены, Сонина функции, Уиттекера функции, Вебера функции, Матье функции, гипергеометрическая функция и многие другие — являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитич. оэффициентами. Линейная теория. Рассмотрим систему из пуравнений в матричной записи 1) Пусть матрицы голоморфны в области — комплексная плоскость t). Тогда всякое решение системы (1) аналитично в G (но, вообще говоря, неоднозначно, если область Gнеодносвязна). Предположим, что A(t).мероморфна в области G, и рассмотрим однородную систему [Матрица A(t).наз. голоморфной (мероморфной) в области G, если все ее элементы голоморфны (мероморфны) в этой области.] Точка t0 принадлежащая Gназ, полюсом матрицы A(t).порядка v>=l, если в нек-рой окрестности этой точки где — постоянные матрицы, а матрица В(t).голоморфна в точке t0 . Полюс t0 не равный бесконечностипорядка наз. регулярной особой точкой при и иррегулярной особой точкой при v>=2. Случай сводится к случаю заменой Ниже 2) Пусть — полюс Тогда существует фундаментальная матрица системы (2) вида где D — постоянная матрица, — голоморфна при если — регулярная особая точка, и Ф (t).голоморфна при , если — иррегулярная особая точка, для нек-рого (Здесь по определению.) Для регулярной особой точки матрица Dвыражается через A(t).в явном виде (см. [1], [2]); для иррегулярных особых точек это не так. Аналогичная классификация особых точек вводится для дифференциальных уравнений порядка пс меро-морфными коэффициентами. Дифференциальные уравнения и системы, все особые точки к-рых регулярны, наз. дифференциальными уравнениями (системами) класса Фукса. Общий вид матрицы для такой системы: Примером дифференциального уравнения класса Фукса является гипергеометрическое уравнение. 3) Пусть — целое, голоморфна при (это иррегулярная особая точка, если Если 5 — достаточно узкий сектор вида то существует фундаментальная матрица вида где — постоянная матрица, — диагональная матрица, элементы к-рой суть полиномы от — целое и при Вся плоскость С (t) разбивается на конечное число секторов, в каждом из к-рых есть фундаментальная матрица вида (4) (см. [3], [4], а также [1]. [2]). 4) При аналитич. родолжении вдоль замкнутого пути фундаментальная матрица X(t).умножается на : — постоянная матрица; возникает монодромии группа дифференциального уравнения. И. А. Лаппо-Данилевским [5] была исследована проблема Римана: пусть A(t) — рациональная функция от t, и пусть известны особенности фундаментальной матрицы X(t);требуется найти A(t). 5) Пусть функция конформно отображает верхнюю полуплоскость Im t>0 на внутренность многоугольника, граница к-рого состоит из конечного числа отрезков прямых и дуг окружностей. Тогда функция удовлетворяет уравнению Шварца где — рациональная функция, причем уравнение принадлежит классу Фукса. Любое решение уравнения (5) может быть представлено в виде где — линейно независимые решения уравнения (6). Пусть — бесконечная дискретная группа, — автоморфная функция группы G; тогда может быть представлена в виде — линейно независимые решения уравнения (6) и R(t) — нек-рая алгебраическая функция. Нелинейная теория. 1) Рассмотрим задачу Коши: здесь Теорема Коши: пусть функция голоморфна по в области и точка Тогда существует такое, что в области существует решение задачи Коши (7), единственное п голоморфное. Аналитич. продолжение решения также будет решением системы (7), однако полученная в результате продолжения функция может иметь особенности и, вообще говоря, будет неоднозначной функцией от t. Возникают вопросы: какие особенности может иметь эта функция, как устроено решение в целом? В линейном случае получены окончательные ответы на эти вопросы. В нелинейном случае ситуация значительно сложнее и не выяснена достаточно полно даже в том случае, когда — рациональные функции от t, x. 2) Рассмотрим одно дифференциальное уравнение где — голоморфные по функции в нек-рой области G. Точка наз. (существенно) особой точкой уравнения (8), если Выясним структуру решений в окрестности особой точки уравнения. Разложим в ряды Тейлора: и пусть — собственные значения матрицы Имеет место теорема: пусть и ни одно из чисел не является: а) целым неотрицательным числом, б) действительным отрицательным числом. Тогда существуют окрестность Uточки , окрестность точки и функции такие, что: отображение задаваемое этими функциями, является биголоморфным; дифференциальное уравнение (8) в новых переменных принимает вид (см. [6]): Все решения уравнения (8) в новых переменных записываются в виде Таким образом, особая точка уравнения является точкой ветвления бесконечного порядка для всех решений уравнения (8) (кроме тривиальных). Особые точки решения, совпадающие с особыми точками уравнения, наз, неподвижными. В отличие от линейного случая, решение нелинейного уравнения может иметь особые точки не только в особых точках уравнения; такие особые точки решения наз. подвижными. Справедлива теорема Пенлеве: решения уравнения где Р — многочлен от хи х' с голоморфными по tкоэффициентами, не имеют подвижных трансцендентных особых точек (см. [7]). Если в уравнении (8) Риф суть многочлены от t, х, то в силу теоремы Пенлеве все подвижные особые точки являются алгебраическими. При замене , =, уравнение (8) примет вид где — многочлены. Пусть — корни уравнения Точки наз. бесконечно удаленными особыми точками уравнения (8); структуру решений в окрестности этих точек описывает приведенная выше теорема [6]. Пусть — многочлены степени п. Поскольку определяются своими коэффициентами и пара задает то же уравнение, получают взаимно однозначное соответствие между уравнениями (8) и точками комплексного проективного пространства X Имеет место теорема: если удалить из нек-рое множество меры нуль, то оставшиеся уравнения (8) обладают следующим свойством: все решения всюду плотны в (см. [8]). 3) Рассмотрим автономную систему Точка наз. особой точкой системы (9), если Справедлива теорема Пуанкаре. Пусть — особая точка автономной системы (9). Пусть, кроме того: а) элементарные делители матрицы Якобн простые и б) собственные значения этой матрицы лежат по одну сторону от нек-рой прямой в , проходящей через начало координат. Тогда существуют окрестности н биголоморфное отображение такое, что в переменных автономная система (9) имеет вид (см. [9]): В том случае, когда выполнено только условие а), можно с помощью преобразования , где — формальный степенной ряд, привести систему (9) в окрестности особой точки к системе, к-рая интегрируется в квадратурах (см. [9], [10]). Однако сходимость этих рядов доказана при предположениях, близких к а), б). В случае, когда функция н преобразование вещественны при вещественных доказана теорема (см. [11]), аналогичная теореме Пуанкаре. Структура решений автономной системы (9) в целом, где — полиномы и n>=3, к 70-м гг. 20 в. не исследована. Лит.:[1] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958: 12} Вазов В., Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1968; [3] Вirkhоf (G. D., "Trans. Araer. Math. Soc.", 1909, v. 10, p. 436-70: [4] TrjitzInskу W. J., "Acta math.", 1933, Bd 62, S. 167-226; [5] Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, |пер. с франц.], М., 1957; [6] Вiеbеrbасh L., Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen auf Funktionentheore-tischer Grundlage dargestellt, В., 1953: [7] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950; [81 Xудай — Веренов М. Г., "Матем. сб.", 1962, т. 56, .№ 3, с. 301-8; [9] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949; [101 Брюно А. Д., "Докл. АН СССР", 1964, т. 157, № 6, с. 1276-79; [11] 3игель К. Л., "Математика", 1961, т. 5, М 2, с. 119-28; 112] Пуанкаре А., Избранные труды, пер. с франц., т. 3, М., 1974; 113] Форд Л. Р., Автоморфные функции, пер. с англ., М., 1936. М. В. Федорюк.