Математическая энциклопедия

Автоморфная Функция

Автоморфная Функция
АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ

мероморфная функция нескольких комплексных переменных, инвариантная относительно некоторой дискретной группы Г аналитич. реобразований данного комплексного многообразия М:


Часто под А. ф. понимают лишь функции, определенные в ограниченной связной области D n -мерного комплексного пространства , инвариантные относительно дискретной группы Г автоморфизмов этой области.

Факторпространство может быть наделено комплексной структурой и А. ф. суть мероморфные функции на X. Подавляющее большинство изученных случаев относится к ситуации, когда пространство Xимеет компактификацию В определение А. ф. естественно включается тогда требование ее продолжимости на все пространство Xв виде мероморфной функции. Если (т. е. ограниченная связная область), то это условие необходимо требовать лишь при (если или компактно, условие выполняется автоматически). Легко проверяется, что А. ф. образуют поле К(Г), изучение к-рого составляет одну из основных задач теории А. ф.

Наиболее подробно исследованы А. ф. одного переменного. Основы их теории заложены в 19 в. Ф. Клейном (F. Klein [1]) и А. Пуанкаре (Н. Poincare [2]). В качестве многообразия Мздесь обычно рассматривают односвязную область. Различаются три случая: М= (комплексная проективная прямая, или сфера Римана), (верхняя полуплоскость В первом случае дискретные группы конечны, кривые суть алгебраич. кривые рода o (см. Род кривой).и, следовательно, А. ф. образуют поле рациональных функций. Примерами А. ф. в случае M= С служат периодич. функции (так, функция инвариантна относительно группы сдвигов и, в частности, эллиптич. функции. Для последних кривая компактна и является эллиптич. кривой. Поле в этом случае будет полем всех алгебраич. функций на Наконец, для и дискретных групп Г таких, что компактно или имеет конечный объем (в метрике Пуанкаре), - алгебраич. кривая, а - также поле всех алгебраич. функций на Род gэтой кривой можно определить, построив для группы Г фундаментальную область в виде многоугольника на верхней полуплоскости Н(рассматриваемой как плоскость Лобачевского). Основной способ построения А. ф. в этой ситуации состоит в рассмотрении отношения двух автоморфных форм одинакового достаточно большого веса. Этот способ принадлежит А. Пуанкаре, к-рый доказал с его помощью приведенные выше результаты о строении полей А. ф. (см. [2], [3], [4]). Аналогом этой конструкции для эллиптич. функций является представление их в виде отношения тета-функций. С помощью теории униформизации можно показать, что таким образом получаются все поля алгебраич. функций от одной переменной [3].

Эти результаты, полученные еще в 19 в., дают полное описание полей А. ф. для n=1 и таких групп Г, что пространство имеет конечный объем. Случай групп Г с бесконечным объемом пространства (клейновы группы) гораздо сложнее и интенсивно изучается вплоть до настоящего времени (см. [5], [6]).

В 20 в. основное внимание в теории А. ф. уделяется функциям нескольких переменных. Пожалуй, единственным примером А. ф. от я переменных, детально изученным в 19 в., являются абелевы функции, связанные с абелевыми многообразиями подобно тому, как связаны эллиптич. функции с эллиптич. кривыми [1], [7]. Первым примером А. ф. ппеременных в ограниченной области Dявились модулярные функции Зигеля [7] (см. Модулярная группа). Их область определения представляет собой n-мерное обобщение верхней полуплоскости Ни является одним из основных примеров ограниченной симметрич. области. К. Зигелю (С. Siegel) принадлежат также первые общие результаты о произвольных А. ф. в ограниченной области D. Обобщая упомянутую выше конструкцию Пуанкаре построения А. ф., он показал, что в поле К(Г).всегда существует по крайней мере палгебраически независимых функций.