Бернштейна Теорема

О минимальных поверхностях: если минимальная поверхность задана уравнением . , где f имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков при всех действительных хи y, то F — плоскость. кривизной. Предложены многочисленные обобщения Б. т., идущие гл. обр. в трех направлениях: 1) Количественные уточнения; напр., получение априорных оценок вида , где — радиус круга, над к-рым определена минимальная поверхность , — гауссова кривизна поверхности в центре круга. 2) Поиски других априорно задаваемых геометрич. условий, при удовлетворении к-рым минимальная поверхность необходима была бы какой-нибудь конкретной поверхностью: плоскостью, катеноидом и т. д.; напр., если сферич. образ полной минимальной поверхности не содержит нек-рое открытое на сфере множество, то такая минимальная поверхность есть плоскость. 3) Перенесение Б. т. на минимальные поверхности размерности , расположенные в евклидовом пространстве ; напр., если , то при всякая минимальная поверхность, однозначно определенная над всем , есть гиперплоскость, а при существуют минимальные поверхности, отличные от плоскости; если же , то уже при можно найти нелинейные минимальные поверхности , определенные над всем . Лит.:[1] Берн штейн С. Н., Собр. соч., т. 3, 1960, с. 251-58; [2] Ниче И. С. С., "Математика", 1967, т. 11, № 3, с. 37-100; [3] Оссерман Р., "Успехи.