Чебышева Уравнение

Линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка или, в самосопряженной форме, здесь а — константа. Ч. у. представляет собой частный случай гипергеометрического уравнения. Точки х=-1 и х=1 являются регулярными особыми точками Ч. у. Замены независимой переменной t= arccos . при | х|< 1, t = Arch | .| при | .| > 1 приводят это уравнение соответственно к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами так что Ч. у, интегрируется в замкнутой форме. Фундаментальная система решений Ч. у. на интервале — 1<х<1 при а=n2, где п — натуральное число, состоит из Чебышева многочлена(1-го рода) степени n Т п (х) = cos (narccos х), и функции Un(x)=sin(narccos x), связанной с многочленами Чебышева 2-го рода. Многочлен Т n (х) служит действительным решением Ч. у. с а=n2 и на всей действительной оси. Ч. у. изучалось также в комплексной области. Н. X. Розов.