Дена Лемма

Пусть в трехмерном многообразии Мрасположена двумерная клетка Dс самопересечениями, имеющая границей простую замкнутую полигональную кривую Сбез особых точек; тогда существует двумерная клетка D0 с границей С, кусочно линейно вложенная в М. Д. л. приведена в [1], однако доказательство ее содержало пробелы; полное обоснование дано в [2]. С Д. л. связан результат, наз. теоремой о петле: пусть М- компактное трехмерное многообразие и N-одна из компонент его края; если ядро гомоморфизма нетривиально, то существует простая петля на N, к-рая не гомотопна нулю па N и гомотопна нулю в М. Теорема о петле и Д. л. обычно применяются совместно. Они могут быть объединены в следующую теорему: если М- трехмерное многообразие с краем Nи ядро гомоморфизма включения нетривиально, то в Мсуществует кусочно линейно вложенный двумерный диск D, край к-рого лежит на Nи не стягиваем на N. К этим теоремам примыкает теорема о сфере, являющаяся вместе с Д. л. и теоремой о петле одним из основных средств топологии трехмерных многообразий: если М- ориентируемое трехмерное многообразие с то в Мсуществует подмногообразие 2, гомеоморфное двумерной сфере, к-рое не гомотопно нулю в М. Эти результаты имеют многочисленные применения в топологии трехмерных многообразий и, в частности, в теории узлов. Так, если К- узел, то изоморфно Zтогда и только тогда, когда К- тривиальный узел. Для и-компонентного зацепления Lв S3 следующие условия равносильны: 1) 2) есть свободное произведение двух нетривиальных групп; 3) в существует такое подмногообразие N, гомеоморфное двумерной сфере, что обе компоненты содержат точки из L. В частности, если L — узел (т. е. в= 1), то (теорема об асферичности узлов). Лит.:[1] Dehn M., "Math. Ann.", 1910, Bd 69, S. 137- 168; [2] Папакирьякопулос С. Д., "Математика", 1958, т. 2, № 4, с. 23 — 47; [3] МассиУ., Столлингс Дж., Алгебраическая топология. Введение, пер. с англ., М., 1977. М. И. Войцеховский, М. Ш. Фарбер.