Дескриптивная Теория Множеств

Раздел теории множеств, изучающий внутреннее строение множеств в зависимости ют тех операций, при помощи к-рых эти множества могут быть построены из множеств сравнительно простой природы (напр., замкнутых или открытых подмножеств данного евклидова, метрич. или топологич. пространства). К указанным операциям относятся объединение, пересечение, взятие дополнения, проектирование и т. д. Д. т. м. зародилась в начале 20 в. в трудах Э. Бореля (Е. Borel), Р. Бэра (R. Baire) и А. Лебега (Н. Lebesgue) в связи с проблемой измеримости множеств. Множества, измеримые по Борслго, получили название борелевских множеств, или В-множеств. С другой стороны, Р. Бэр дал классификацию функций, названных впоследствии бэровскими функциями, и доказал ряд теорем об этих функциях (см. Бэра классы, Бэра теорема). А. Лебег доказал, что В-множества тождественны Лебега множествам бэровских функций, дал первую классификацию В-множеств и доказал непустоту каждого ее класса. Изучение В-множеств стало важной задачей Д. т. м., причем в первую очередь надлежало выяснить вопрос о мощности В-множеств. После введения Лебега меры оказалось, что класс измеримых множеств значительно шире класса В-множеств, и возник вопрос об отыскании средств установления измеримости того или иного множества. Решение этого вопроса в каждом конкретном случае связано, как правило, с выяснением того процесса, при помощи к-рого это множество может быть построено, т. е. его дескриптивной структуры. Так определился еще один важный круг задач Д. т. м.- отыскание возможно более широкого класса (сохраняющих измеримость) операций над множествами и исследование свойств результатов этих операций. Решение этих вопросов, возникших в работах французских математиков, было дано преимущественно русскими математиками — Н. Н. Лузиным и его школой. Один из наиболее важных вопросов — вопрос о мощности В-множеств — был решен П. С. Александровым [1] в 1916, построившим для этого А-операцию. Им было показано, что посредством A-операцни, отправляясь от интервалов, можно построить любое В-множество и что всякое несчетное множество, полученное путем А-операции (и называемое А-множеством), содержит совершенное множество и, значит, имеет мощность континуума. Этот результат был независимо получен Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorff). М. Я. Суслин [2] показал, что существует A-множество, не являющееся борелевским. Он же ввел и название А-множества, равно как и А-операции (в честь П. С. Александрова). А-множества наз. также суслинскими множествами или, реже, аналитическими множествами. Для того чтобы А-множество было В-множеством, необходимо и достаточно, чтобы: 1) дополнение к нему снова было А-множеством (Суслина критерий);2) оно являлось результатом А-операции с непересекающимися слагаемыми (Лузина критерий). Все Л-множества измеримы и обладают Бэра свойством. Были найдены следующие новые способы получения Л-множеств. эквивалентные А-операции: А-множества суть проекции В-множеств (и даже Gd); А-множества суть непрерывные образы пространства I иррациональных чисел; и, значит, A-множества суть непрерывные образы В-множеств [3]. В то же время, непрерывный взаимно однозначный (и даже счетнократный [4]) образ В-множества есть В-множество и всякое несчетное В-множество есть объединение не более чем счетного множества и непрерывного взаимно однозначного образа пространства I (см. [3]). Наконец, Н. Н. Лузиным был найден еще один важный способ задания A-множеств при помощи введенной им операции решета (см. Лузина решето). Трансфинитные индексы решета и конституанты стали мощным орудием исследования свойств А-множеств и их дополнений — СА-множеств. При исследовании проблемы о мощности СA -множеств Н. Н. Лузин вводит проективные множества. Каждый класс а проективных множеств содержит множества, не принадлежащие классам <a (см. [3], [5]). Важным инструментом при доказательстве этой и других теорем о непустоте тех или иных классов множеств является понятие универсального множества (см. [3], [6], [5]). Изучение проективных множеств даже второго класса наталкивается на непреодолимые трудности. Так, не решен полностью вопрос об измеримости множеств (В 2), их мощности и о наличии у них свойства Бэра. Важные результаты в этом направлении получены П. С. Новиковым [4]: существует несчетное СA-множество, относительно к-рого непротиворечиво предположение, что оно не содержит совершенного подмножества; существует множество ( В 2), относительно к-рого непротиворечиво утверждение, что оно неизмеримо. Введение П. С. Александровым [7] Г-операции, дополнительной к А-операции, явилось первым шагом в направлении построенной А. Н. Колмогоровым [8] и Ф. Хаусдорфом [9] общей теории теоретико-множественных операций; однако основной класс операций составляют положительные теоретико-множественные операции, или ds-операции. Для каждой ds-операции Ф была определена дополнительная ds-операция Ф с и дана формула к-рая может рассматриваться как определение Ф с. Было введено также понятие нормальной ds-операции (для любого семейства Ммножеств Ф (Ф(М)) = Ф(М), см. [8]). А-операция и Г-опорация являются взаимно дополнительными нормальными ds-операциями. То же самое справедливо относительно операций счетного объединения и счетного пересечения. Одной из ключевых теорем общей теории операций над множествами, лежащими в топологич. пространствах, является теорема Колмогорова о дополнениях: если пространство содержит дисконтинуум, М- система всех замкнутых подмножеств этого пространства и Ф — произвольная теоретико-множественная операция, то дополнение хотя бы одного множества семейства Ф (М)ему не принадлежит (см. [8', [5], [9]). Применение к данному семейству Ммножеств попеременно ds-oпepaции Ф и Ф с позволяет построить возрастающую трансфинитную последовательность классов М 0=М, М1, ...,Мa,..., a<w1 относительно к-рой верна теорема Колмогорова о непустоте классов: если Ф есть нормальная ds-операция более мощная, чем операции счетного объединения (или счетного пересечения), а Месть семейство всех замкнутых подмножеств метрич. пространства, содержащего дисконтинуум, то все классы М a, a<w1, порождаемые операцией Ф из семейства М, попарно различны. При этом ds -операция Ф считается более мощной, чем ds-oпepaция y, если для любого семейства Ммножеств (см. [8], [5]). Если то классы М a, a<w1, порожденные операцией Ф из семейства М, представляют собой классы В-множеств, порожденных семейством М(классификация Хаусдорфа). Аналогичным образом A-операция порождает из семейства Мборелевских множеств классы М a, a<w1, С-множеств ( Лузина множеств). Каждое С-множество измеримо и обладает свойством Бэра. Все С-множества входят в класс (В 2), но не исчерпывают его. Исключительно важную роль в Д. т. м. играет введенное Н. Н. Лузиным понятие отделимости [4]. Первый принцип отделимости: всякие два непересекающиеся A-множества отделимы (В). Второй принцип отделимости: если Еи Р- два А-множества (или С А -множества), то множества и отделимы ( СА). Существуют два СА -множества, неотделимые (В). Проблема отделимости проективных множеств второго класса была решена П. С. Новиковым [4]; при этом принципы отделимости оказались обращенными: они получаются из соответствующих теорем для проективных множеств первого класса заменой (А)на (СА 2), ( СА). на ( А 2 )и (В) на ( В 2). Проблема отделимости в классе С-множеств была также решена П. С. Новиковым [4] (см. также [3]). Им же введено обобщение понятия отделимости множеств — понятие одновременной или кратной отделимости множеств, равно как и основной инструмент при доказательстве теорем кратной отделимости — принцип сравнения индексов [4]. Важная глава в развитии Д. т. м. связана с решением проблемы униформизации. Множество Руниформизует множество если и если Римеет ту же, что и Е, проекцию на Xи проектируется на Xвзаимно однозначно. Всякое B-множество униформизуется СА -множеством. Процесс эффективного выбора точки [4] в непустом СА -множестве позволил получить более сильный результат: всякое СА -множество униформизуется СА -множеством. Всякое Л-множество униформизуется множеством типа Араб[3] (см. также [10]). Существует А-множество в евклидовой плоскости, не униформизуемое ни А-множеством, ни СА -множеством (см., напр., [11], с. 57). В вопросе о том, в каких случаях B-множество может быть униформизовано В- множеством, наиболее общий результат имеет вид: всякое плоское B-множество, пересекающееся с прямыми х=const по множествам типа Fa, униформизуется B-множеством. Проблема униформизации возникла при решении проблемы о неявных В-функциях (см. [3]). При этом возникли и другие задачи: о природе проекций B-множеств, о расщеплении множеств, о накрытии множеств, о природе множества всех тех точек проекции данного В-множества Е, прообразы к-рых (в пересечении с Е)обладают нек-рым фиксированным свойством. Представление о второй и третьей задачах дают следующие теоремы [3]: B-множество, имеющее счетно-кратную проекцию, является объединением счетного числа униформных В-множеств, причем, каковы бы ни были два таких множества, одно из них лежит под другим (теорема о расщеплении B-множества); всякое Л-множество, имеющее счетнократную проекцию, содержится в нек-ром В-множестве, обладающем этим свойством (теорема о накрытии A-множества). Помимо классификаций В-множеств, принадлежащих А. Лебегу и Ф. Хаусдорфу, существует классификация Лузина — Балле Пуссена. В этой классификации а качестве инструмента для исследования строения множеств данного класса К a, a<w1, выбраны множества, представимые в виде пересечения и не представимые в виде объединения счетного числа множеств классов <a; эти множества наз. элементами класса а. Всякое множество класса К a. есть объединение счетного числа попарно непересекающихся элементов классов Каждый класс К a. разбивается на подклассы b<w1, причем в каждом классе существуют подклассы со сколь угодно большими номерами b<w1. Поскольку каждое множество класса a. строится из элементов, то возник вопрос об исследовании строения самих элементов, в частности о существовании в каждом классе К a. такого основного топологич. типа элементов, названных каноническими, чтобы каждый; элемент класса a. мог быть представлен в виде объединения счетного числа канонич. элементов классов (все рассматривается в пространстве I иррациональных чисел). В первом классе имеются канонич. элементы двух типов — одноточечное множество и топологич. образ канторова совершенного множества. Во втором классе [12] каждый элемент есть объединение канонич. элемента класса 2, каковым является множество, гомеоморфное пространству I, и множества класса Были найдены и канонич. элементы третьего класса: ими оказались элементы третьего класса, построенные Р. Бэром, к-рые являются каноническими (см. [3]). Проблема существования канонич. элементов высших классов, оказавшаяся исключительно трудной, была решена Л. В. Келдыш [13], установившей существование канонич. элементов в каждом классе a<w1 и выяснившей их строение. Каждый элемент класса a>2 является объединением одного канонич. элемента класса a. и не более чем счетного числа множеств классов <a. Еще одна трудная задача из этого круга связана с построением арифметич. примеров В-множеств низших классов. Такой пример для класса 3 построен Р. Бэром (см. [3]). Арифметич. примеры элементов всех конечных классов даны Л. В. Келдыш [13] (см. также [3]), указавшей на принципиальную возможность построения таких примеров для классов Важную роль в Д. т. м. играет Лаврентьева теорема о продолжении гомеоморфизма (см. [9]): пусть X и Yполные метрич. пространства, и есть гомеоморфизм; тогда существует продолжение отображения f до гомеоморфизма двух С d -множеств, лежащих в этих пространствах. Из этой теоремы легко следует теорема о топологической инвариантности (см. [9]): пусть — система замкнутых множеств и Ф — такая dS -операция, что пересечение -множества (т. е. множества семейства с Gd. -множеством есть снова-множество; тогда каждое -множество, лежащее в полном метрич. пространстве, является -множеством в любом метрич. пространстве, в к-ром оно топологически содержится. Система в этой теореме может быть заменена системой открытых множеств. Таким образом, -множества, где Ф удовлетворяет указанному выше условию, лежащие в полных метрич. пространствах, являются абсолютными -множествами, и то же самое верно для -множеств (при этом имеется в виду абсолютность в классе метрич. пространств). Для ряда частных случаев, напр. СA-множеств [7] (Ф есть Г-операция), этот результат был установлен без применения теоремы Лаврентьева. Всякое полное метрич. пространство есть абсолютное Gd. Всякое (метризуемое) абсолютное Gd. гомеоморфно нек-рому полному метрич. пространству (теорема Александрова — Хаусдорфа, см. [9]). Справедлива следующая теорема Александрова — Урысона [12] о топологич. характеристике пространства иррациональных чисел: каждое нульмерное метрич. пространство Xсо счетной базой, не имеющее ни одной точки локальной компактности и являющееся абсолютным Gd, гомеоморфно пространству I. А так как I есть абсолютное Gd. и обладает всеми остальными свойствами пространства X, то перечисленные в теореме свойства пространства Xполностью характеризуют пространство I с топологич. точки зрения. Эта характеризация позволила доказать следующий результат [14]: каждое метрич. пространство, являющееся непрерывным образом пространства I (и, значит, абсолютным A-множеством), есть также факторный образ пространства I. К этому кругу результатов принадлежат также следующие: непустое сепарабельное метрич. пространство есть непрерывный открытый образ пространства I тогда и только тогда, когда оно есть абсолютное Gd. (см. [15]); здесь "открытый" можно заменить на "замкнутый". Обобщением непрерывного отображения является понятие B-измеримого отображения, или B-функции, в частности, B-измеримого отображения класса а; обобщениями гомеоморфизма являются понятия обобщенного гомеоморфизма класса (a, b) и B-изоморфизма. Об этих отображениях см. [6]. При формулировке результатов, как правило, не указывался тот класс пространств, для к-рого они справедливы. Это объясняется тем, что большинство классич. результатов было получено для подмножеств пространства I, но почти все они (исключения всегда оговаривались) справедливы при замене I любым сепарабельным абсолютным Gd (в частности, полным метрич. пространством со счетной базой). Дальнейшее развитие Д. т. м. проходило по линии обобщения классич. результатов для случая: 1) полных метрич. пространств (не обязательно сепарабельных); 2) совершенно нормальных топологич. пространств, в частности, бикомпактов; 3) общих топологич. пространств. Даже в первом случае обобщение классич. теории связано с серьезными трудностями, а часто и вовсе не имеет места. Обобщение теории B-множеств и А-множеств для этого случая рассмотрено А. Стоуном [16]. Класс совершенно нормальных пространств есть класс, за пределами к-рого уже не имеет места тот немаловажный факт, что система B-множеств (соответственно A-множеств), порожденных замкнутыми множествами данного пространства, совпадает с системой B-множеств (соответственно А-множеств), порожденных открытыми множествами этого пространства. Справедлива важная теорема о непустоте классов [11]: во всяком несчетном совершенно нормальном бикомпакте для каждого класса a<w1 существует В-мно жество класса а, не являющееся В-множеством класса <a. Проблема униформизации стала частным случаем общей проблемы о сечении многозначного отображения (см. Сечение отображения). Современная разработка Д. т. м. в общих топологич. пространствах (третий случай) имеет связь с потребностями других областей математики (напр., с теорией потенциала). Подробнее см. [17] (имеется обширная библиография). Идеи и методы Д. т. м. оказали большое влияние на развитие целого ряда областей математики: анализа, теории функций, топологии, математической логики и др. Лит.:[1] Александров П. С, "С.r. Acad. set.", 1916, t. 162, p. 323-25; [2] Суслин М. Я., там же, 1917, t. 164, р. 88-90; [3] Лузин Н. Н., Собр. соч., т. 2, М., 1958; [4] Ляпунов А. А., "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1973, т. 133, с.11-22; [5] Очан Ю.