Двумерное Многообразие
Топологическое пространство, каждая точка к-рого обладает окрестностью, гомеоморфной плоскости или полуплоскости. Д. м. — наиболее наглядный класс многообразий: к ним относятся сфера, круг, лист Мёбиуса, проективная плоскость, бутылка Клейна и др. Точки, имеющие лишь такие окрестности, к-рые гомеоморфны полуплоскости (если они есть), образуют край многообразия. Важнейший клаос Д. м. составляют замкнутые ориентируемые Д. Имеет значение тот факт, что универсальным накрытием любого связного Д. м. без края (кроме s2 и RP2) является плоскость R2, а соответствующая монодромии группа реализуется движениями евклидовой плоскости или плоскости Лобачевского. Напр., тор получается отождествлением всех точек плоскости, отличающихся друг от друга на тu1+nu2, где u1. и u2- два данных вектора, a m и n — целые числа. Для применений важны также и накрытия с ветвлением. Пусть отображение f :где М 1 и М 2 — замкнутые и триангулированные Д. м., линейно отображают каждую грань М 1 на некоторую грань М 2, причем для каждого ребра I в М 1 примыкающие к нему две грани отображаются на разные грани, примыкающие к ребру f(l)в М 2. Для каждой точки отличной от вершин, найдется в М 1 окрестность, к-рую f переводит взаимно однозначно на окрестность точки f(x) в М 2. Если для вершины vиз М 1 обойти в циклич. порядке примыкающие к ней грани, то соответствующие грани в М 2 обойдут в циклич. порядке вершину f(v)в М 2 целое число kраз. Если k=1, то u — обыкновенная точка, если же k>1, то v- точка ветвления, а k — кратность ветвления в точке v. Если f -1(w)для wО M2 не содержит точек ветвления, то wтакже наз. обыкновенной. Поскольку прообразы близких обыкновенных точек из М 2 состоят из равного числа точек, по соображениям непрерывности получается, что это число — одно и то же для всех обыкновенных точек. Оно наз. числом листов накрытия. Это число dравно для ориентируемого Д. м. степени отображения f (в случае неориентируемости его следует привести по модулю два). Если f-1(w). содержит точки ветвления с кратностями к 1, ..., kt, то f-1(w)содержит на меньше точек, чем обыкновенная точка (здесь суммирование по всем точка.
