Гамильтона — Якоби Теория

Раздел классического вариационного исчисления и аналитич. механики, в к-ром задача нахождения экстремалей (или задача интегрирования гамильтоновой системы уравнений) сводится к интегрированию нек-рого уравнения с частными производными 1-го порядка — так наз. уравнения Гамильтона — Якоби. Основы Г.- Я. т. были разработаны У. Гамильтоном (W. Hamilton) в 20-х гг. 19 в. в применении к задачам волновой и геометрич. оптики. В 1834 У. Гамильтон распространил свои идеи на задачи динамики, а в 1837 К. Якоби (С. Jacobi) применил этот метод для общих задач классического вариационного исчисления. Исходные позиции Г. -Я. где — Гамильтона функция (см. также Лежандра преобразование). Последнее соотношение приводит к уравнению для функции S: Это уравнение и наз. уравнением Гамильтон а — Якоби. Важнейшим результатом Г. -Я. т. является теорема Якоби, заключающаяся в том, что полный интеграл уравнения (2), т. е. решение этого уравнения, зависящее от параметров (с условием невырожденности ), позволяет получить общий интеграл уравнения Эйлера функционала (1), или, что то же самое,- гамильтоновой системы, связанной с этим функционалом, по формулам Применение теоремы Якоби к интегрированию гамильтоновых систем основано, как правило, на методе разделения переменных в специально выбранных координатах. Несмотря на то, что интегрирование уравнений с частными производными составляет, как правило, более сложную задачу, чем отыскание решений обыкновенных уравнений, Г. -Я. т. оказалась мощным орудием исследования задач оптики, механики и геометрии. Суть принципа Гюйгенса была применена Р. Беллманом (R. Bellmann) к задачам оптимального управления. См. также Гильберта, инвариантный интеграл. Лит.:[1] Вариационные принципы механики, М., 1959; [2] Парс Л.-А., Аналитическая динамика, пер. е англ., М., 1971, с. 283-86; [3] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974, с. 219-24; [4] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955, с. 92-96. В. М. Тихомиров.