Ханта — Стейна Теорема

Утверждение, содержащее условия, при выполнении к-рых существует максиминный инвариантный критерий в задаче статистич. проверки гипотез. Пусть по реализации случайной величины X, принимающей значения в выборочном пространстве надлежит проверить гипотезу против альтернативы причем предполагается, что семейство доминировано нек-рой -конечной мерой Далее, пусть на действует группа преобразований ,оставляющая инвариантной задачу проверки гипотезы H0 против H1. и пусть -борелевское -поле подмножеств группы С.X.- С. т. утверждает, что если выполняются условия: 1) отображение -измеримо, причем для любого множества и любого элемента g 2) на существует асимптотически правоинвариантная последовательность мер vn в том смысле, что для любых и то для любого статистич. критерия, предназначенного для проверки H0 против H1, критич. функция к-рого есть найдется (почти) инвариантный критерий с критич. функцией такой, что при всех где — группа, индуцированная группой G. Из X. С. т. следует, что если существует статистический критерий уровня с критич. функцией максимизирующий то существует и (почти) инвариантный критерий с таким же свойством. Условие 2) заведомо выполняется, когда группа Gявляется локально компактной, на к-рой задана правоинвариантная мера Хаара. X.-С. т. показывает, что если группа Gудовлетворяет условиям теоремы, то в любой задаче статистич. проверки гипотез, инвариантной относительно G, в к-рой существует равномерно наиболее мощный критерий, этот критерий является максиминным. Напротив, пусть в нек-рой задаче статистич. проверки гипотез, инвариантной относительно группы G, установлено, что равномерно наиболее мощный критерий не является максиминным. Это означает, что нарушены условия Х.-С. т. В связи с этим возникает вопрос: может ли заданный критерий быть максиминным н другой задаче проверки гипотез, инвариантной относительно той же группы G? Ответ на этот вопрос уже зависит не только от группы G, но и от самого семейства распределений X.-С. т. была получена Хантом (G. Hunt) и Стейном (С. Stein) в 1946, см. [1]. Лит.:[1]Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; [2] 3акс Ш., Теория статистических выводов, пер. с англ., М., 1975. М. С. Никулин.