Математическая энциклопедия

Идеал

Идеал
ИДЕАЛ

- специального рода подобъект в иек-рой алгебраич. структуре. Понятие И. возникло первоначально в теории колец. Название И. ведет свое происхождение от идеальных чисел.

Для алгебры, кольца или полугруппы Аидеал I есть подалгебра, подкольцо или полугруппа, замкнутая относительно умножения на элементы из А. При этом И. I наз. левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из А, т. е.

АI =I (соответственно IА = I), где

И., являющийся одновременно левым и правым (т. е. выдерживающий любые умножения на элементы из А), наз. двусторонним. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают. Любому утверждению о левых И. отвечает двойственное утверждение о правых И. (далее формулировки будут приводиться только в "левом случае").

Двусторонние И. в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные делители в группах. Для всякого гомоморфизма f: ядром Кеr f (т. е. множеством элементов, отображающихся f в 0) служит И., и обратно, всякий И.- ядро нек-рого гомоморфизма. Более того, И. I однозначно определяет конгруэнцию x в А, нулевым классом к-рой он является, и, следовательно, однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ Af гомоморфизма f, ядром к-рого он служит: Af изоморфно факторкольцу (факторалгебре) А/x, обозначаемому также А/I. Аналогичными свойствами относительно гомоморфизмов обладают И. мультиоператорных групп. В мультиоператорной Q-группе АИ. определяется как нормальный делитель ее аддитивной группы, удовлетворяющий условию: для всякой n-арной операции со, любых элементов и при всяком i=1, 2, . . ., и должно иметь место включение-(а 1, а 2. . . а nw)+а 1 . . . а i-1(b+а i) а i+1 ... а nwI (для колец и алгебр это понятие индуцирует понятие двустороннего И.).

Двусторонние И. полугрупп, напротив, не дают описания всех гомоморфных образов данной полугруппы. Если задан гомоморфизм f полугруппы Ана полугруппу В, то только в случае, когда В- полугруппа с нулем, с гомоморфизмом f естественно связан двусторонний И. f-1(0), к-рый, однако, не обязан определять однозначно f. Тем не менее, если I - И. в A, то среди факторполугрупп полугруппы А, имеющих в качестве элемента класс I, существует максимальная фактор-полугруппа А/I (наз. идеальным факторо м). Элементами этой полугруппы будут элементы множества и сам И. I, к-рый будет нулем в А/I.

Для любого подмножества можно определить идеал IX, порожденный X, как пересечение всех И., содержащих множество X. Множество Xназ. базисом идеала IX. Разные базисы могут порождать один и тот же И. Идеал, порожденный одним элементом, наз. главным.

Пересечение, а в случае полугрупп и объединение левых (двусторонних) И. снова будет левым (двусторонним) И. Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение И. не обязано быть И. Пусть I1, I2- левые или двусторонние И. в кольце (алгебре) А. Суммой идеалов I1 и I2 наз. И. он является минимальным И . в А, содержащим I1 и I2. Относительно операций пересечения и взятия суммы все (левые или двусторонние) И. кольца (или алгебры) образуют решетку. Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их И. или решетку И. (см. Главных идеалов кольцо, Артиново кольцо, Нестерове кольцо).

И. мультипликативной полугруппы кольца может и не быть И. кольца. Полугруппа Аявляется группой тогда и только тогда, когда Ане содержит (как левых, так и правых) И., отличных от самой А. Таким образом, обилие И. в полугруппе характеризует отчасти степень отличия данной полугруппы от группы.

Для k -алгебры А(алгебры над полем к)И. кольца Аможет, вообще говоря, не быть И. алгебры А. Напр., если Аесть k-алгебра с нулевым умножением, то множество всех И. кольца Асовпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы А, а множество всех И. алгебры Асовпадает с множеством всех подпространств векторного k-пространства А. Однако в случае, когда А- алгебра с единицей, оба эти понятия И. совпадают. Поэтому многие результаты одинаково формулируются как для колец, так и для алгебр.

Кольцо, не имеющее двусторонних И., наз. просты м. Кольцо без собственных односторонних И. является телом. Левые И. кольца Аможно определить также, как подмодули левого А-модуля А. Нек-рые свойства колец не меняются при замене левых И. на правые. Напр., Джекобсона радикал, определенный с помощью левых И., совпадает с радикалом Джекобсона, определенным с помощью правых И. С другой стороны, нётерово слева кольцо может не быть нётеровым справа.

Изучение И. коммутативных колец - важная часть коммутативной алгебры. С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологич. пространство Spec A, точками к-рого являются все простые И. кольца А, отличные от А. При этом существует взаимно однозначное соответствие между всеми И. кольца Аи всеми замкнутыми подмножествами пространства Spec A. В коммутативной алгебре встречается понятие И. поля, точнее И. поля относительно кольца. При этом кольцо Акоммутативно, с единицей и без делителей нуля, а поле Q- поле частных кольца А. Идеалом поля Qназ. ненулевое подмножество являющееся подгруппой аддитивной группы поля Q, выдерживающее умножения на элементы из А(т. е. для любых и такое, что существует элемент для к-рого И. наз. целым, если он содержится в А (и тогда он служит обычным И. кольца А), в противном случае I наз. дробным идеалом.

Идеалом решетки наз. непустое подмножество Iэлементов решетки, удовлетворяющее условиям: 1) если то 2) если то Дуальный идеал (или фильтр) решетки определяется двойственным образом ( а,, И. решетки, упорядоченные включением, сами образуют решетку. Максимальный элемент в множестве всех собственных И. решетки наз. максимальным идеалом. Если f - гомоморфизм решетки в частично упорядоченное множество с нулем, то полный прообраз нуля является И. Он наз. ядерным идеалом гомоморфизма f. И. Sрешетки Lназ. стандартным, если для любых неравенство a<b+s влечет a=x+t, где и Всякий стандартный И. является ядерным.

Ядерный И. решетки с относительными дополнениями (см. Решетка с дополнениями )является стандартным. И. I наз. простым, если из следует, что или Каждое из следующих условий эквивалентно простоте для И. Iрешетки L:. а) дополнение является фильтром; б) I - полный прообраз нуля при нек-ром гомоморфизме решетки Lна двухэлементную решетку. В дистрибутивной решетке каждый максимальный И. прост.