Математическая энциклопедия

Идеальный Ряд

Идеальный Ряд
ИДЕАЛЬНЫЙ РЯД

полугруппы S- такая последовательность подполугрупп

что А;есть (двусторонний) идеал в Ai+1, i=1,2, ..., т-1. Подполугруппа А 1 и факторполугруппы Риса Ai+1/Ai (см. Полугруппа). наз. факторами ряда(*). Два И. р. наз. изоморфными, если между их факторами можно установить взаимно однозначное соответствие, при к-ром соответствующие факторы изоморфны. И. р. наз. уплотнением ряда (*), если каждое А;совпадает с некоторым Bj. И. р. наз. композиционным рядом, если он не обладает отличными от него самого уплотнениями. Для любых двух И. р. полугруппы существуют изоморфные уплотнения; в частности, в полугруппе, обладающей композиционным рядом, все такие ряды изоморфны (аналоги теорем Шрейера и Жордана - Гёльдера о нормальных рядах групп, см. [1], [2]). И. р. наз. главным рядом, если его члены суть идеалы всей полугруппы и он не обладает отличными от него уплотнениями, состоящими из идеалов полугруппы. Если полугруппа обладает композиционным рядом, то она имеет и главный ряд; обратное неверно. В полугруппе Sс главным рядом факторы его изоморфны главным факторам S.

Как и для нормальных рядов групп, приведенные понятия (и их свойства) естественным образом обобщаются на случай бесконечных систем вложенных подполугрупп. В частности, возрастающий

И. р. полугруппы S- это вполне упорядоченная по следовательность

где на предельных местах стоят объединения предыдущих членов, и Аa есть идеал в Aa+1 для любого a<b.

Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972.

Л. Н. Шеврин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985