Математическая энциклопедия

Иенсена Неравенство

Иенсена Неравенство
ИЕНСЕНА НЕРАВЕНСТВО

в простейшей дискретной форме:

где f(x)- выпуклая (см. Выпуклая функция )на нек-ром множестве Сфункция, i=1, 2, . . ., n,

Равенство достигается тогда и только тогда, когда либо х 1=x2=. . . = xn, либо f(x).- линейная функция. И н те тральное И. н. для выпуклой функции f(x):

где при

"

Равенство достигается тогда и только тогда, когда либо x(t)=const на D, либо f(x)линейна на x(D). Если f(x)- вогнутая функция, знаки неравенств (1) и (2) меняются на противоположные. Неравенство (1) установлено О. Гёльдером[1], неравенство (2)- И. Иенсеном [2].

При соответствующем подборе выпуклой функции f(x)и весов li или весовой функции l(t). неравенства (1) и (2) переходят в конкретные неравенства, среди которых большинство классич. неравенств. Например, если в (1) положить f(x)=-ln x, x>0, то получается неравенство между взвешенными средним арифметическим и средним геометрическим:

при l1=l2 =. . . =ln= 1/n неравенство (3) принимает вид

Лит.:[1] Holder О., "Gott. Nachr.", 1889, S. 38-47; [2] Jensen J. L., "Acta math.", 1906, v. 30, p. 175-93; [3] Харди Г., Литтльвуд Д., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948, с. 90-91, 182-83.

Е. К. Годунова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985