Математическая энциклопедия

Индекс

Индекс
ИНДЕКС

числа а по модулю т- показатель ув сравнении a=gg(mod m), где аи твзаимно просты, а g- некоторый фиксированный первообразный корень по модулю т. И. числа апо модулю тобозначается через g=indg а или, более кратко, у=ind а. Первообразные корни существуют только для модулей вида m=2, 4, р a, 2рa, где р>2 - простое число, и следовательно, только для таких модулей определено понятие И.

Если g- первообразный корень по модулю ти упробегает значения 0, 1, . . ., j(m)-1, где j(т).- Эйлера функция, то gg пробегает приведенную систему вычетов по модулю т. Следовательно, каждому числу а, взаимно простому с га, соответствует единственный индекс у такой, что Любой другой индекс g' числа аудовлетворяет сравнению g'=g mod j(т). Поэтому И. числа аобразуют класс вычетов по модулю j(m).

Понятие И. аналогично понятию логарифма и И. обладает рядом свойств логарифма, а именно:

где alb означает корень сравнения

bx=a(mod m).

Если m=2ap1a1 . . . pass- каноническое разложение произвольного натурального числа ти g1, ..., gs- первообразные корни по модулям р a11, . . ., pass соответственно, то для всякого а, взаимно простого с т, существуют целые числа g, g0, g1, ..., gs такие , что

Указанная система g,g0,g1, ..., ls наз. системой индексов числа апо модулю т. Каждому числу а, взаимно простому с т, соответствует единственная система индексов g, g0, g1, ..., gs такая, что

где i=1, 2, . . ., s, а с и с 0 определены следующим образом:

Всякая другая система g',g'0,g'1, ..., у'3 И. числа a удовлетворяет сравнениям

Понятие системы И. числа апо модулю тудобно для явного построения характеров мультипликативной группы приведенных классов вычетов по модулю т.

Лит.:[1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

С. А. Степанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985