Математическая энциклопедия

Индуцированное Представление

Индуцированное Представление
ИНДУЦИРОВАННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

- представление p локально компактной группы G, индуцированное представлением р ее замкнутой подгруппы Н, точнее, представление p группы Gв нек-ром пространстве Ефункций f на группе G, принимающих значения в пространстве Vпредставления р и удовлетворяющих условию f(hg)=r(h)f(g). для всех причем [p(g1)f](g) = f(gg1 )для всех g, И. п. я обычно обозначается Операция построения И. п. является простейшим и важнейшим приемом построения представлений более сложных групп, исходя из представлений более простых групп, и для широких классов групп полное описание неприводимых представлений может быть дано в терминах И. п. или их обобщений.

Если G- конечная группа, то индуцирующее представление р предполагается конечномерным, а в качестве пространства Vрассматривается пространство всех функций f на группе G, принимающих значения в Vи удовлетворяющих условию f(hg)=p(h)f(g). Представление где р - единичное представление единичной подгруппы {е}, есть правое регулярное представление группы G;представление эквивалентно представлению р. Представление эквивалентно представлению sв пространстве Wвсех функций на однородном пространстве со значениями в V, определенному формулой вида [s(g)f](x) = a(g, x) f(xg), причем функция аопределяется следующим образом: если s :- некоторое отображение, удовлетворяющее условию для всех то a(g, x)=p(h), где s(x)g=hs(xg )для всех Функция аявляется одномерным коциклом группы Gс коэффициентами в группе функций на Xсо значениями в обратимых операторах в V. Если rt эквивалентно представлению r2, то Ind r1 эквивалентно Ind r2; представление эквивалентно представлению Если К, И - подгруппы группы G, K М H, и r - представление группы К, то представление группы G, индуцированное представлением группы Н, эквивалентно представлению (теорема о сквозном индуцировании). Если p, r - представления группы Gи ее подгруппы Нсоответственно, то пространства сплетающих операторов Ноm (я,) и изоморфны, где p|H- сужение представления p на подгруппу Н(теорема двойственности Фробениуса); в частности, если я и р неприводимы, то я входит в Ur с той же кратностью, с к-рой р входит в p|H. Характер cp И. п. p=Ur группы Gопределяется формулой:

где cr -характер представления р группы Н, продолженный нулем на всю группу G, а d пробегает набор представителей правых смежных классов группы Gпо подгруппе Н. Пусть Н, К- подгруппы группы G, r - представление группы Н,. для всех gО G и pg- представление группы К, индуцированное представлением rg группы Gg, определяемым формулой pg(x)=p(gxg-1), x О Gg;. тогда представление pg однозначно определяется двойным классом HgK, содержащим элемент g, и сужение И. п. HUPG на подгруппу Кэквивалентно прямой сумме представлений pg, где сумма берется по множеству представителей всевозможных двойных классов HgK, g О G (теорема об ограничении И. п. на подгруппу). Эта теорема может быть применена, в частности, к разложению тензорного произведения И. п. Пространство операторов, сплетающих данные И. п., допускает явное описание. Представление p группы Gтогда и только тогда эквивалентно И. п. вида HUPG для нек-рых Ни р, когда существует такое отображение Рмножества подмножеств пространства HGв множество проекторов в пространстве Епредставления я, что 1) Р(ф)= 0, P(HG)=1;.2) если М, N МHG и то Р()=P{M)+P(N);.3) Р{)=P(M)P(N). для всех М, N МHG;.4) P(Mg)=p-1(g)P(M)p(g). для всех MМHG, g О G (такое отображение Рназ. системой импримитивности для представления л с базой И. п. конечной группы может быть непосредственно описано в терминах модулей над групповой алгеброй, а также может быть определено в категорных терминах. Конечная группа наз. мономиальной, если любое ее неприводимое представление индуцировано одномерным представлением нек-рой подгруппы. Всякая мономиальная группа разрешима; всякая нильпотентная группа мономиальна.