Математическая энциклопедия

Индуктивный Предел

Индуктивный Предел
ИНДУКТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ

- конструкция, к-рая впервые появилась в теории множеств, а затем стала широко использоваться в алгебре, топологии и других областях математики. Важный частный случай И. п.- это И. п. направленного семейства однотипных математических структур. Пусть С- направленное по возрастанию предупорядоченное множество, т. е. в Сзадано рефлексивное и транзитивное отношение и для любых элементов a, найдется такой элемент что и И пусть каждому сопоставлена некоторая структура А a. (для определенности можно считать, что А a.- группы) и при заданы гомоморфизмы jab : удовлетворяющие двум условиям: для любого и для любых из С. На множестве вводится отношение эквивалентности : элемент эквивалентен элементу , если xjag=yjbg. для некоторого у. Фактормножество можно снабдить структурой группы: если и то произведением классов эквивалентности с представителями хи усчитается класс эквивалентности с представителем Построенная группа Аназ. И. п. семейства групп А a. Для каждого существует естественный гомоморфизм ja : который элементу сопоставляет его класс эквивалентности. Группа А, вместе с гомоморфизмами ja, обладает следующим универсальным свойством: для любой системы гомоморфизмов ya : для которой при существует такой единственный гомоморфизм y : что для любого

Обобщением данной конструкции И. п. является индуктивный предел (прямой предел, копредел) функтора. Объект Акатегории наз. индуктивным пределом ковариантного функтора F:если:

1. существуют такие морфизмы jD : где что для любого морфизма а : из

2. для любого семейства морфизмов yD : где для к-рого при любом a.: DD1 из существует такой единственный морфизм у: что

И. п. обозначается или или И. п. контравариантного функтора

F:определяется как индуктивный предел ковариантного функтора F* из двойственной к категории D* в категорию