Математическая энциклопедия

Инерции Закон

Инерции Закон
ИНЕРЦИИ ЗАКОН

квадратичных форм - теорема, утверждающая, что при любом способе приведения квадратичной формы

с действительными коэффициентами к сумме квадратов

посредством линейной замены переменных

где Q- невырожденная матрица с действительными коэффициентами, число р(соответственно га) таких индексов i, что bi>0 (соответственно bi<0), остается неизменным. В этой классич. форме И. з. установлен Дж. Дж. Сильвестром (J. J. Sylvester). Это утверждение иногда называют также теоремой Сильвестра.

В современной форме И. з.- это следующее утверждение о свойствах симметрических билинейных форм над упорядоченными полями. Пусть Е- конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем k, снабженное невырожденной симметрия, билинейной формой f. Тогда существует такое целое число что для любого ортогонального относительно f базиса е 1, ..., es в Есреди s элементов

имеется в точности рположительных и в точности п=s -ротрицательных. Пара ( р, п )наз. сигнатурой билинейной формы f, а число п- ее индексом инерции. Две эквивалентные формы имеют одинаковую сигнатуру. Если k- евклидово поле, то равенство сигнатур является достаточным условием для эквивалентности билинейных форм. Если индекс инерции n=0, форма наз. положительно определенной, а при р=0 - отрицательно определенной. Эти случаи характеризуются тем, что f(x, х)>0 (соответственно f(x, x)<0 )для любого ненулевого вектора Из И. з. вытекает, что Еесть ортогональная относительно f прямая сумма подпространств

таких, что сушение f на Е + является положительно определенной, а сужение f на Е - - отрицательно определенной билинейной формой и

(так что размерности пространств Е + и Е - не зависят от способа разложения).

Иногда сигнатурой формы f наз. разность

Если формы f и gопределяют один и тот же элемент кольца Витта W(k)поля k,то s(f)=s(g). Более того, = s(f1)+s(f2), =s(f1)s(f2) для любых невырожденных форм f1 и f2, и s(<1>)=1, так что отображение определяет гомоморфизм кольца W(k)в кольцо целых чисел Z. Если k - евклидово поле, то этот гомоморфизм является изоморфизмом.

И. з. обобщается на случай эрмитовой билинейной формы над максимальным упорядоченным полем k, над квадратичным расширением кили над телом кватернионов над k(см. [1], [4]).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [4] Мilnоr J., Husemoller D., Symmetric bilinear forms, В.-Hdlb.-N.Y., 1973. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985