Математическая энциклопедия

Интегральная Поверхность

Интегральная Поверхность
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

- поверхность в (n+1)-мерном пространстве, заданная уравнением и=j(x1, ..., х п), где функция и=j( х 1,..., х п )является решением дифференциального уравнения С частными производными. Напр., рассмотрим линейное однородное уравнение 1-го порядка

здесь и - искомая, а Х 1,..., Х п - заданные функции от аргументов х 1, ..., х п. Пусть в нек-рой области G n -мерного пространства функции Х 1,. .., Х п непрерывно дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль, а функции j1(x1, ..., х п), ..., jn-11, ..., х п )являются функционально независимыми первыми интегралами в области Gсистемы обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрич. форме

Тогда уравнение всякой И. п. уравнения (*) в области Gможно представить в виде

где Ф - непрерывно дифференцируемая функция. Для Пфаффа уравнения

Р( х, у, z)dx+Q(x, у, z)dy+R(x, y, z)dz=0,

вполне интегрируемого в нек-рой области Gтрехмерного пространства и не имеющего в Gособых точек, через каждую точку области Gпроходит И. п. Эти И. п. нигде не пересекаются и не касаются друг друга.

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Н. Н. Ладис.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985