Математическая энциклопедия

Интегральных Соотношении Метод

Интегральных Соотношении Метод
ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИИ МЕТОД

, метод полос,- метод решения систем дифференциальных уравнений с частными производными, основанный на прнближеннрм сведении уравнений с частными производными к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Применим к уравнениям различных типов. Предложен А. А. Дороднициным [1] как развитие метода прямых, обобщенная форма И. с. м. с введением сглаживающих функций дана в [2], разработка и развитие метода - в [3].

Пусть имеется система дифференциальных уравнений с частными производными в дивергентном виде

где Pi, Qi, Fi- заданные функции от независимых х, у и искомых u1, u2,. . ., uk переменных. Пусть решение системы (1) ищется в криволинейном прямоугольнике с границами х=а, х=b, у=0, у=D(х), на к-рых ставится условий, из них кусловий на границах x= а и х=b. Если заранее функция D (х)неизвестна, то требуется одно дополнительное условие. При наличии на границе особых точек вместо соответствующих граничных условий используются условия регулярности. В N-м приближении область интегрирования разбивается на Nнепересекающихся полос системой линий y=yn(x)=nD(x)/N, n=1,..., N. Для каждого Nвыбирается замкнутая система из Nлинейно независимых функций fn(y). При умножении каждого исходного уравнения (1) на функции fn(y)и интегрировании по упоперек всех полос получают kN интегральных соотношений вида

Подынтегральные функции Р, Q, F аппроксимируются при помощи интерполяционных формул через их значения Р п, Qn, Fn на границах полос; интегралы, входящие в интегральные соотношения, имеют вид

где С п- численные коэффициенты, зависящие от выбора интерполяционных формул и вида функций fn(y). В результате получается аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений по хотносительно K(N+1 )значений искомых функций и п на всех границах полос. Эта система замыкается кграничными условиями при у = 0 и у=А (х).

Функции fn(y)выбираются достаточно произвольно. Применение в качестве fn(y)5-функции fn(y) = b(y-у n), n=1, 2,. . ., N, приводит к методу прямых, в к-ром производные по узаменяются разностными выражениями, отвечающими выбранным интерполяционным формулам. При использовании ступенчатых функций

говорят о простом И. с. м., где исходные уравнения интегрируются поперек каждой полосы. При этом выраженные исходной системой (1) законы сохранения запишутся для полос в виде следующих интегральных соотношений

Сходимость и погрешность И. с. м. исследовались для систем квазилинейных уравнений гиперболич. типа [4]. Здесь были установлены результаты, показывающие преимущество И. с. м. над методом прямых. В более поздних работах проводилось аналогичное исследование для уравнений эллиптич. типа.

К достоинствам И. с. м. относятся: возможность выбора интерполяционных формул и функций f(y)с учетом поведения решения, точное интегрирование по одной из переменных (вследствие дивергентной формы записи исходных уравнений), простота вычислительного алгоритма, небольшой объем машинной памяти при расчетах на ЭВМ. В И. с. м. аппроксимируется интеграл: это повышает точность аппроксимации за счет уменьшения коэффициента остаточного члена; интеграл представляет собой более гладкую функцию, чем подинтегральная функция, что позволяет уменьшить число узлов интерполяции. В случае разрыва первого рода подинтегральной функции интеграл непрерывен. И. с. м. наиболее эффективен, когда решение с хорошей точностью получается при малом числе полос.

Проведением аппроксимаций по двум переменным И. с. м. обобщается на случай уравнений с тремя независимыми переменными. Аппроксимации по двум переменным можно проводить и в двумерном случае (при этом область интегрирования разбивается не на полосы, а на подобласти), тогда аппроксимирующая система будет системой нелинейных алгебраич. или трансцендентных уравнений. Элементы И. с. м. применяются в др. численных методах, напр, в крупных частиц методе.

И. с. м. наиболее приложим в газовой динамике, где с его помощью был решен цикл практически важных задач. При этом выделяют три схемы И. с. м.: 1) область интегрирования разбивается линиями, проходящими между поверхностью тела и ударной волной (рис. а);

2) область интегрирования разбивается линиями, проходящими между осью симметрии и граничной характеристикой (рис. б);3) производится разбиение на подобласти двумя семействами пересекающихся линий (рис. в).

И. с. м. для расчета сверхзвукового обтекания носовой части затупленного тела с отошедшей ударной волной был разработан в [5], где впервые получено численное решение этой задачи в прямой постановке. Проведено решение этой задачи для самых общих случаев (тела разнообразной формы, пространственное обтекание, течения реального газа при наличии равновесных и неравновесных физико-химич. превращений и излучения, нестационарное движение, течение вязкого газа [6]). И. с. м. применялся для численного исследования потенциальных течений газа [7], для решения нек-рых смешанных задач: течение в дозвуковой и трансзвуковой части сопла [8]. Рассматривалось закритическое обтекание профиля под углом атаки с местной сверхзвуковой зоной [9]. И. с. м. рассчитывались сверхзвуковые конич. течения газа.

Широкое применение И. с. м. нашел при расчетах движения вязкого газа в рамках теории пограничного слоя. Для ламинарного несжимаемого случая было получено решение вплоть до точки отрыва [2]. Далее рассчитывался ламинарный пограничный слой в газе с учетом вдува или отсоса, излучения, теплопроводности. И. с. м. получено решение нестационарной задачи о точечном одномерном взрыве в газе с учетом противодавления [10], а также в газе с бесконечной проводимостью в присутствии магнитного поля и в горючем газе.

Лит.:[1] Дородницын А. А., в кн.: Тр. 3 Всесоюзного математического съезда. 1956, т. 3, М., 1958, с. 447-53; [2] его же, "Ж. прикл. механ. и техн. физ.", 1960, № 3, с. 111-18; [3] Белоцерковский О. М., Чушкин П. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1962, т. 2, № 5, с. 731-59; [4] Бобков В. В., Крылов В. И., "Дифференциальные уравнения", 1965, т. 1, № 2, с. 230-43; [5] Белоцерковский О. М., "Докл. АН СССР", 1957, т. 113, в. 3, с. 509-12; [6] Белоцерковский О. <М. и др., Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Теоретические и экспериментальные исследования, 2 изд., М., 1967; [7] Чушкин П. И., "Вычисл. математика", 1957, К"2, с. 20- 44; [8] Алихашкин Я. И., Фаворский А. П., Чушки н П. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1963, т. 3, №6, с. 1130 - 34 [9]Tai Т. С, "J. AIAA", 1974, V. 12, р. 798 - 804; [10] Коробейников В. П., Чушкин П. И., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1966, т. 87, с. 4-34.

Ю. М. Давыдов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985