Интегральное Уравнение Типа Свертки

Интегральное уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интегрального преобразования свертки (см. Интегральный оператор). Особенностью И. у. т. с. является то, что ядра таких уравнений зависят от разности аргументов. Простейший пример — уравнение где k и f- заданные функции, а j — искомая функция. Пусть k: и и решение ищется в том же классе. Для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно выполнение условия где К — преобразование Фурье функции k. При выполнении условия (2) уравнение (1) в классе L1 имеет единственное решение, представимое формулой где однозначно определяется с помощью своего преобразования Фурье Уравнения типа свертки на полупрямой ( Винера- Хопфа уравнение) возникает при исследовании различных вопросов как теоретического, так и прикладного характера (см. [1], [4]). Пусть правая часть f и искомая функция а ядро и Функцию a(l)наз. символом уравнения (4). Индексом уравнения (4) называется число Если х= 0,функции К +, К -, определенные из равенств: являются преобразовалиями Фурье, соответственно, функций таких, что k+(t) = k-(-t) = 0 при t<0. При указанных выше условиях уравнение (4) имеет единственное решение, которое представляется формулой где Если x<0, то все решения уравнения (4) даются формулой где с k — произвольные постоянные, а функции однозначно определяются с помощью своих преобразований Фурье: Однородное уравнение, соответствующее (4), имеет при х<0 ровно |х| линейно независимых решений j1,..., j|x|, являющихся абсолютно непрерывными функциями на любом конечном интервале, причем эти решения можно подобрать так, что jk+1(t) = j'k(t), jk(0) = 0 при k=1,..., |х| — 1 и Если х>0, то уравнение разрешимо лишь при соблюдении условий: где y1, ..., yx- система линейно независимых решений транспонированного к (4) однородного уравнения При соблюдении этих условий решение (единственное) дается формулой где а преобразование Фурье K-(0) (X)и функций и определяется равенством и равенствами (11). Для уравнения (4) справедливы теоремы Нётера (см. Сингулярное интегральное уравнение). Первые значительные результаты по теории уравнений (4) были получены в [11], где указан эффективный метод (так наз. метод Винера — Хопфа) решения однородного уравнения, соответствующего (4), в предположении, что ядро и искомое решение удовлетворяют условиям: при некоторых 0<a<а и Основным моментом в методе Винера-Хопфа является идея факторизации функции h(X), голоморфной в полосе |Iml|<а, то есть идея о возможности ее представления в виде произведения h-(k)h+(k), где h-, h+- некоторые голоморфные функции соответственно в полуплоскостях Iml,<а и Iml>-a, удовлетворяющие нек-рым дополнительным требованиям. Эти результаты были развиты и дополнены (см. [4]). Разработан метод сведения уравнения (4) к граничной задаче линейного сопряжения. Этим путем уравнение (4) было решено в следующих предположениях: k ОL1, 2 (), KОLipa(), 0<a<1; К(l)=О(|l|-b), b>0, при |l| стремистся к беск. и 1-K(l)0, <l< Кроме того, была выяснена роль числа ind[1- К(k)]в решении уравнения (4). В предшествующих работах аналогичную роль играло число нулей аналитич. функции 1-К(l)в некоторой полосе (см. [3]). Условие (5) является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы в случае уравнения (4) были справедливы теоремы Нётера. Приведенные решения уравнения (4) упрощаются в ряде практически важных частных случаев. Установлена асимптотика решения для специальных правых частей (см. [4]). Уравнение (4) изучено и в случае, когда (, ) и преобразование Фурье К(l). ядра (t)имеет разрывы 1-го рода (см. [5]) или же является почти периодической функцией (см. [2]). В этих случаях условие (5) оказывается недостаточным для того, чтобы были справедливы теоремы Нётера. Справедливость большинства перечисленных выше результатов установлена также для систем уравнений типа (4), но, в отличие от одного уравнения, системы И. у. т. с. в общем случае не решаются явно в квадратурах (см. [6]). К И. у. т. с. относятся также парные уравнения (или дуальные уравнения) и транспонированное к ним так наз. И. у. т. с. с двумя ядрами: Уравнения (15) решены явно в квадратурах в [3], а уравнение (16) — в [10]. И. у. т. с. на конечном промежутке где является Фредголъма уравнением (см. [7], [9]). И. у. т. с, символ к-рых обращается в нуль в конечном числе точек и порядки нулей — целые числа, поддаются явному решению в квадратурах (см. [8], [12]). Лит.:[1] Нобл Б., Применение метода Винера — Хопфа, пер. с англ., М., 1962; [2] Гохберг И. Ц., Фельдман И. А., Уравнения в свертках и проекционные методы их решения, М., 1971; [3] Рапопорт И. М., "Докл. АН СССР", 1948, т. 59, № 8, с. 1403-06; "Сб. тр. ин-та матем. АН УССР", 1949, № 12, с. 102-17; [4] Крейн М. Г., "Успехи матем. наук", 1958, т. 13, в. 5, с. 3-120; [5] Дудучава Р. В., "Math. Nachr.", 1975, Bd 65, № 1, S. 59-82; [6] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., "Успехи матем. наук", 1957, т. 12, в. 2, с. 44-118; [7] Ганин М. П., "Изв. ВУЗов. Математика", 1963, № 2, с. 31-43; [8] Гахов Ф. Д., Смагина В. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1962, т. 26, №. 3, с. 361-90; [9]Симоненко И. Б., "Изв. ВУЗов. Математика", 1959, №2, с. 213-26; [10] Черский Ю. И., "Уч. зап. Казанск. ун-та", 1953, т. 113, кн. 10, с. 43-56; [11] Wiеner N., Н о р f E., "Sitz. Akad. Wiss. Berlin", 1931, S. 696- 706; [12] Prossdorf S., Einige Klassen singularer Gleichungen, В., 1974.P. В. Дудучава, Б. В. Хведелидзе.