Математическая энциклопедия

Интегральное Уравнение Типа Свертки

Интегральное Уравнение Типа Свертки
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА СВЕРТКИ

- интегральное уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интегрального преобразования свертки (см. Интегральный оператор). Особенностью И. у. т. с. является то, что ядра таких уравнений зависят от разности аргументов. Простейший пример - уравнение

где k и f- заданные функции, а j - искомая функция. Пусть k: и и решение ищется в том же классе. Для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно выполнение условия

где К - преобразование Фурье функции k. При выполнении условия (2) уравнение (1) в классе L1 имеет единственное решение, представимое формулой

где однозначно определяется с помощью своего преобразования Фурье

Уравнения типа свертки на полупрямой ( Винера- Хопфа уравнение)

возникает при исследовании различных вопросов как теоретического, так и прикладного характера (см. [1], [4]).

Пусть правая часть f и искомая функция а ядро и

Функцию a(l)наз. символом уравнения (4). Индексом уравнения (4) называется число

Если х= 0,функции К +, К -, определенные из равенств:

являются преобразовалиями Фурье, соответственно, функций таких, что k+(t) = k-(-t) = 0 при t<0. При указанных выше условиях уравнение (4) имеет единственное решение, которое представляется формулой

где

Если x<0, то все решения уравнения (4) даются формулой

где с k - произвольные постоянные,

а функции однозначно определяются с помощью своих преобразований Фурье:

Однородное уравнение, соответствующее (4), имеет при х<0 ровно |х| линейно независимых решений j1,..., j|x|, являющихся абсолютно непрерывными функциями на любом конечном интервале, причем эти решения можно подобрать так, что jk+1(t) = j'k(t), jk(0) = 0 при k=1,..., |х| - 1 и

Если х>0, то уравнение разрешимо лишь при соблюдении условий:

где y1, ..., yx- система линейно независимых решений транспонированного к (4) однородного уравнения

При соблюдении этих условий решение (единственное) дается формулой

где

а преобразование Фурье K-(0) (X)и функций и определяется равенством

и равенствами (11). Для уравнения (4) справедливы теоремы Нётера (см. Сингулярное интегральное уравнение).

Первые значительные результаты по теории уравнений (4) были получены в [11], где указан эффективный метод (так наз. метод Винера - Хопфа) решения однородного уравнения, соответствующего (4), в предположении, что ядро и искомое решение удовлетворяют условиям: при некоторых 0<a<а и

Основным моментом в методе Винера-Хопфа является идея факторизации функции h(X), голоморфной в полосе |Iml|<а, то есть идея о возможности ее представления в виде произведения h-(k)h+(k), где h-, h+- некоторые голоморфные функции соответственно в полуплоскостях Iml,<а и Iml>-a, удовлетворяющие нек-рым дополнительным требованиям. Эти результаты были развиты и дополнены (см. [4]).