Математическая энциклопедия

Инвариантный Объект

Инвариантный Объект
ИНВАРИАНТНЫЙ ОБЪЕКТ

на однородном пространстве - поле геометрич. величин на однородном пространстве M=G/H группы Ли G, не меняющееся при всех преобразованиях из G. Более строгое определение И. о. состоит в следующем. Пусть

- локально тривиальное однородное расслоение над однородным пространством M=G/H группы Ли G. Сечение расслоения p наз. И. о. (типа я) на М, если оно инвариантно относительно действия LE группы Gв пространстве Г(Е)сечений этого расслоения. Множество. И. о. типа p находится в естественном взаимно однозначном соответствии с множеством H-инвариантных элементов слоя рассматриваемого расслоения над точкой соответствующей смежному классу еН.

Важнейший и наиболее изученный частный случай: p есть векторное расслоение. Тогда Ндействует в слое над точкой тлинейно, и И. о. типа я находятся во взaимно однозначном соответствии с H-инвариантными векторами этого слоя, что сводит их классификацию к классич. задаче теории инвариантов. Для тензорных расслоений (ассоциированных с касательным расслоением) задача классификации И. о. сводится к нахождению инвариантов линейной группы изотропии.

И. о. часто возникают в следующем контексте. Пусть s- поле геометрич. величин (геометрич. объект) на гладком многообразии М,a Aut (s)- его группа симметрии, т. е. множество таких диффеоморфизмов j многообразия М, что j*s=s, где j*- индуцированное j преобразование s. И пусть группа Aut (s) содержит транзитивную на Мподгруппу G, являющуюся группой Ли. Тогда Мотождествляется с однородным пространством G/H, где Н- стационарная подгруппа произвольной точки а объект s становится И. о. на однородном пространстве G/H. Классич. примерами И. о. являются инвариантные риманова метрика, комплексная структура, симплектич. структура, контактная структура, обыкновенное дифференциальное уравнение (в частности, пульверизация и связность), дифференциальный оператор. Широкий класс И. о. допускает единообразное описание в рамках теории G-структур.

И. о. появляются естественным образом в различных областях математики и физики. Напр., линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами есть И. о. на евклидовом пространство, рассматриваемом как однородное пространство векторной группы. Эйлерово движение твердого тела происходит по геодезическим левоинвариантной римановой метрики на группе SO(3). Однородность пространства Ньютона и пространства-времени Минковского вместе с принципом относительности Галилея приводят к разнообразным И. о. в ньютоновской и релятивистской физике, причем требование инвариантности часто позволяет почти однозначно определить рассматриваемый объект (уравнение, лангранжиан и т. п.) (см. [9]). Изучение свойств И. о. обычно легко сводится к тем или иным вопросам линейной алгебры (часто допускающим полное решение). Это определяет важную роль И. о. как простых модельных примеров, проясняющих общую ситуацию. Часто И. о. устроены проще, чем произвольные объекты данного типа. Напр., в отличие от произвольных римановых метрик, любая инвариантная риманова метрика на однородном пространстве полна (так же как и любая инвариантная псевдориманова метрика на компактном однородном пространстве), а любая ее самопересекающаяся геодезическая замкнута.

Вопросы классификации И. о. продвинуты в основном для небольшого числа классических тензорных И. о. Наиболее полные результаты получены для однородных пространств компактных групп Ли.

Большой интерес с различных точек зрения представляет изучениe И. о. на неоднородных G-пространствах, т. е. геометрич. объектов, инвариантных относительно данной нетранзитивной группы Ли Gпреобразований многообразия М. В случае компактной группы Gдля построения И. о. здесь часто используется метод усреднения по группе (пример - теорема о существовании G-инвариантной римановой метрики). Другой более тонкий метод (применимый для более широкого класса групп Ли преобразований - так наз. совершенных групп преобразований) основан на существовании слайса (среза), наличие к-рого означает "почти локальную тривиальность" расслоения многообразия Мна орбиты группы G.

Важным обобщением понятия И. о. является понятие ковариантного объекта: пусть на слоях Fm расслоения p задана дополнительная структура tm, гладко зависящая от точки (например, структура векторного пространства) и Am=Aut(tm)- группа автоморфизмов структуры tm слоя Fm. Множество сечений k:расслоения яр: образует нек-рую группу автоморфизмов расслоения p, называемую калибровочной группой. Пусть К- некоторая ее подгруппа. Сечение s расслоения я наз. А'-ковариантным объектом типа я на M=G/H, если где - некоторый гомоморфизм Важнейший частный случай получается, если я: =G/H - векторное расслоение, К - группа положительных функций на М, рассматриваемая как группа автоморфизмов расслоения я, kе=k (т) е, где т=p(е), В этом случае K-ковариантный объект наз. также конформно инвариантным объектом, а определяемое им сечение соответствующего проективного расслоения является И. о.

Лит.:[1] Kobayashi S., Nomizu К., Foundations of differential geometry, v. 2, N.Y., 1969; [2] Liсhnerowiсz A., Geometrie des groupes de transformations, P., 1958; [31 Wolf J. A., Spaces of constant curvature, N.Y., 1967; [41 Kobayashi S., Transformation groups in differential-geometry, В. -Hdlb.-N.Y., 1972; [5] Хелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [6] Комраков Б. П., Дифференциально-геометрические структуры и однородные пространства, ч. 1, Минск, 1977; [7] Итоги науки. Алгебра. Топология. 1962, М., 1963; [8] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967; [9] Levy-Leblond J. M., "Gommun. Math. Ph.", 1969, v. 12, № 1, p. 64 - 79.

Д. В. Алексеевский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985