Математическая энциклопедия

Инвариантное Интегрирование

Инвариантное Интегрирование
ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

на группе - интегрирование функций на топологич. группе, обладающее нек-рым определенным свойством инвариантности относительно групповых операций. А именно, пусть G- локально компактная топологич. группа, C0(G)- векторное пространство всех непрерывных финитных (с компактными носителями) комплексно-значных функций на G, I - интеграл на C0(G), т. е. линейный положительный при функционал на C0(G). Интеграл I наз. левоинвариантным (правоинварнантным), если I(gf)= If (соответственно I(fg) = If )для всех здесь

Интеграл I наз. двусторонне инвариантным, если он одновременно лево- и правоинвариантен.

Отображение где определяет взаимно однозначное соответствие между классами левоинвариантных и правоинвариантных интегралов в С 0 (G). Если то интеграл Iназ. инверсионно инвариантным.

На всякой локально компактной группе Gсуществует ненулевой левоинвариантныи интеграл, единственный с точностью до числового множителя (теорема Хаара - Неймана - Вейля). Этот интеграл наз. левым интегралом Хаара. Имеет место равенство где а D - непрерывный гомоморфизм группы Gв мультипликативную группу положительных действительных чисел (положительный характер). При этом Характер D наз. модулем группы G. Если D(g)=l, то группа Gназ. ун и модулярной. В этом случае I является двусторонне инвариантным интегралом.

В частности, унимодулярна всякая компактная группа (причем ) и всякая дискретная группа (причем ).

Согласно теореме Рисе а, всякий интеграл на С 0 (G) является интегралом Лебега по нек-рой борелевской мереm, определяемой однозначно в классе регулярных борелевских мер, конечных на каждом компактном подмножестве Лево- (право-) инвариантная мера m, отвечающая левому (правому) интегралу Хаара в C0(G), наз. левой (правой) Хаара мерой на G.

Пусть Н- замкнутая подгруппа в G,m0- модуль группы Н. Если Д о продолжается до непрерывного положительного характера группы G, то на левом однородном пространстве X=G/H существует относительно инвариантный интеграл J, т. е. положительный функционал на пространстве С 0 (X)непрерывных финитных функций на X, удовлетворяющий тождеству для всех здесь

D - модуль группы G. Этот интеграл определяется по правилу где I - левый интеграл Хаара на - функция на Gтакая, что

(I0- левый интеграл Хаара на Н, а jH- сужение функции j на подгруппу Н). Это определение корректно, поскольку является отображением С 0(G)на С 0 (Х)и Jf=0 при f=0. С И. и. тесно связано понятие инвариантного среднего.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления, пер. с франц., М., 1970; [2] Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, пер. с франц., М., 1950; [3] Люмис Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., М., 1956; [4] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, т. 1, пер. с англ., М., 1975.

Д. П. Желобенко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985