Математическая энциклопедия

Излучения Условия

Излучения Условия
ИЗЛУЧЕНИЯ УСЛОВИЯ

- условия на бесконечности единственности решения внешних краевых задач для уравнений эллпптич. типа, являющихся математич. моделью установившихся колебаний различной физич. природы. Физич. смысл И. у. заключается в выделении решения краевой задачи, описывающей расходящиеся волны, источники (действительные или фиктивные) к-рых находятся в ограниченной области (см. [1]). Решения уравнения установившихся колебаний, описывающие волны, источники к-рых находятся на бесконечности (напр., плоская волна), не удовлетворяют И. у.

Впервые аналитич. форма И. у. для уравнения Гельмгольца

была предложена А. Зоммерфельдом [2]. Если (1) соответствует задаче об установившихся колебаниях при временной зависимости e-iwt, то соответствующие И. у., получившие название условий излучения Зоммерфельда, в случае пространства трех измерений имеют вид

в случае двух измерений условия излучения Зоммерфельда имеют вид

Первое условие в (2) и (3), как показано в [3], является следствием второго и требования удовлетворения уравнению (1).

Условия (2), (3) могут быть ослаблены. В частности, условия (2) в ряде случаев могут быть заменены нелокальным интегральным условием

Условия (2) - (4) в тех случаях, когда граница внешней области имеет бесконечно удаленные точки, не являются универсальными в том смысле, что они не всегда определяют класс функций, в к-ром соответствующая краевая задача однозначно разрешима. Напр., ' в слое между двумя параллельными плоскостями, на к-рых ставятся однородные граничные условия Дирихле или Неймана, не существует классич. решения уравнения (1) с локальной правой частью, удовлетворяющего условиям излучения Зоммерфельда (2) или (4) (см. [4]). Для разрешимости задачи эти условия должны быть заменены на так наз. парциальные И. у. (см. [4]).

В отличие от условий (2) - (4), парциальные И. у. можно формулировать уже не в виде асимптотич. выражений, а в виде точных соотношений, к-рым должны удовлетворять компоненты разложения решения по нек-рой системе базисных функций. Соответствующая система базисных функций вводится различным образом в зависимости от специфики исходной краевой задачи. Так, в случае краевой задачи для уравнения (1) с локальной правой частью в бесконечном цилиндре с осью z при однородных граничных условиях Дирихле или Неймана на боковой поверхности цилиндра парциальные И. у. могут быть записаны в виде

где S- поперечное сечение цилиндра, vn- нормированные собственные функции краевой задачи для уравнения Лапласа в S:

и носитель правой части лежит в области, ограниченной сечениями z1, z2.

Поскольку аналитич. вид И. у. (2) - (5) различен, то естественно возникает проблема формулировки общего принципа излучения, не зависящего от вида той неограниченной области, в к-рой ищется решение задачи об установившиеся колебаниях. Возможны два различных подхода к решению данной проблемы. В [5] сформулирован так наз. принцип предельной амплитуды, согласно к-рому решение уравнения установившихся колебаний однозначно определяется требованием, чтобы это решение являлось пределом при амплитуды решения задачи Коши с нулевыми начальными условиями для волнового уравнения с периодической правой частью, и дано обоснование принципа предельной амплитуды для задачи об установившихся колебаниях во всем неограниченном пространстве. Обобщение принципа предельной амплитуды на внешние задачи для достаточно общего класса дифференциальных операторов при нек-рых дополнительных условиях на внутреннюю . границу неограниченной области см., напр., в [6].

Другой подход при формулировке общего принципа излучения, носящий название принципа предельного поглощения, заключается в том, что решение внешней краевой задачи об установившихся колебаниях в среде без поглощения ищется как предел ограниченного решения соответствующей краевой задачи в среде, обладающей поглощением, при стремлении последнего к нулю. Впервые этот метод был использован при решении конкретной задачи дифракции электромагнитных волн на бесконечно длинной проволоке (см. [7]). Имеются обобщения принципа предельного поглощения, как условия единственности решения внешних краевых задач для общих эллиптич. операторов и для достаточно широкого класса внутренних границ неограниченной области (см., напр., [8]).

Принципы предельной амплитуды и предельного поглощения широко используются при исследовании общих свойств решений внешних краевых задач, однако, поскольку они так же, как и условия излучения Зоммерфельда (2) - (4), имеют асимптотич. характер, их использование при численном решении внешних краевых задач оказывается в ряде случаев недостаточно эффективным. В этих случаях обычно применяются парциальные И. у., к-рые в сочетании с проекционными методами дали возможность провести полное численное исследование большого числа практически важных задач (см., напр., [9]).

Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, ч. 1, 6 изд., 1974; L2] Sоmmеrfeld A., "Jahresber. Dtsch. Math.-Ver.", 1912, Bd 21, S. 309-53; [3] Векуа И. Н., "Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР", 1943, т. 12, с. 105-74; [4] Свешников А. Г., "Докл. АН СССР", 1950, т. 73, №5, с. 917-920; [5] Тихонов А. Н., Самарский А. А., "Ж. эксперимент, и теоретич. физики", 1948, т. 18, Лё 2, с. 243-48; [6] Лаке П. Д., Филипс Р. С, Теория рассеяния, пер. с англ., М., 1971; [7] Игнатовский В. С, "Ann. phys.", 1905, Bd 18, № 13, S. 495- 522; № 15, S. 1078; [8] Эйдус Д. М., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 3, с. 91 - 156; [9] Свешников А. Г., Проблемы математической физики и примыкающие к ним вопросы вычислительной математики и дифференциальных уравнений, М., 1977.

А. Г. Свешников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985