Якоби Эллиптические Функции

Эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel). Конструкция Якоби основывается на применении тета-функций. Пусть — комплексное число с Тета-функции Якоби представляют собой следующие ряды, абсолютно и равномерно сходящиеся на компактах плоскости комплексного переменного v: Эти ряды достаточно быстро сходятся. Обозначения восходят к К. Вейерштрассу (К. Weierstrass). Вместо часто пишут имеются и другие системы обозначений. Сам К. Якоби применял обозначения: где Все тета-функции Якоби представляют собой целые трансцендентные функции комплексного переменного v, причем — нечетная функция, а остальные функции четные. Имеют место следующие соотношения периодичности: из к-рых вытекает, что тета-функции являются эллиптич. функциями III рода по Эрмиту. Различные тета-функции связаны между собой формулами преобразования: Все четыре тета-функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению Важное значение имеют так наз. нулевые значения тета-функций при этом Между ними имеются следующие соотношения: По отдельности где Функция имеет простые нули в точках — в точках — в точкax — в точках Из соотношений периодичности видно, что нек-рые отношения тета-функции будут эллиптич. функциями в собственном смысле. Основные эллиптические функции Якоби — snu(синус амплитуды). сn.(косинус амплитуды )и dnu (дельта амплитуды). Эти обозначения введены X. Гудерманом (Ch. Gudermann, 1838). Названия происходят от старых обозначений, введенных самим К. Якоби (znи==sin аmu, cnu=cos amu, dnu=amu)и позднее вышедших из употребления. Новое переменное исвязано с . соотношением u= Если — модуль эллиптических функций, то Я. э. ф. следующим образом выражаются через тета-функции или посредством сходящихся в окрестности начала степенных рядов: Удобные обозначения для обратных величин и отношений были введены Дж. Глейшером(J. Glaisher, 1882): Я. э. ф. snu, сnи, dnu являются эллиптич. функциями 2-го порядка с периодами: 4K и 2iK' для snu; 4K и 2(K+iK' )для сnи; 2Ки 4iK' для dnu. Здесь K= — значения полных эллиптич. интегралов I рода, — дополнительный модуль эллиптических функций. Я. э. ф. имеют только простые полюсы, расположенные в точках 2mK+(2n+1)iK'; т, Три Я. э. ф. связаны соотношениями: и дифференциальными уравнениями Теоремы сложения дяя Я. э. ф. имеют вид: Связь Я. э. ф. с эллиптич. интегралами выражается в том, что если — эллиптич. интеграл I рода в нормальной форме Лежандра, то его обращение имеет вид z=snu; в этом и состоял исходный пункт теории Якоби. Переменная есть бесконечнозначная функция от ии наз. амплитудой эллиптического интеграла u, Основные соотношения между постоянными: В прикладных задачах обычно задан модуль k, причем чаще всего имеет место так наз. нормальный случай 0<k<1, или задан дополнительный модуль 0<k'<1. Требуется найти К, К', или Полагая при 0<k<l имеем Для определения qполучается быстро сходящийся при ряд Значения полных эллиптич. интегралов . и К' определяются по формулам или при помощи таблиц. При k =0 и k =1 Я. э. ф. вырождаются соответственно в тригонометрич. и гиперболич. функции: В теоретич. отношении более простое построение теории эллиптич. функций дано К. Вейерштрассом к 1802-63 (см. Вейерштрасса эллиптические функции ). При заданном модуле k, 0<k <1, инварианты Вейерштрасса e 1, е 2, е 3 вычисляются, напр., по формулам е 1= (2-k 2)/3, е 2=(2k 2-1)/3, е 3=-(1+k 2)/3, и далее g 2= -4(e 1e 2+e 2e 3+e 3e 1), g 3=4e 1e 2e 3. Полупериоды теперь определяются по формулам что и дает возможность вычислить все остальные величины, относящиеся к эллиптич. функциям Вейерштрасса. Лит.:[1] Jасоbi С., Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Konigsberg, 1829; Gesammelte Werke, Bd 1, В., 1881; [2] Axиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970; [3] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; [4] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ 2 изд., ч. 2, М., 1963; [5] Еnnереr A., Elliptische Funktionen. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Halle/Saale, 1890; [6] Tannery J., Molk J., Elements de la theorie des functions elliptigues, t. 1-4, P., 1983-1902; [7] Журавский А. М., (Справочник по эллиптическим функциям, М.- Л., 1941; [8] Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф,, Специальные функции Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М., 1977. Е. Д. Соломенцев.