Эйлера — Лагранжа Уравнение

Для минимальной поверхности z=z( х, у) — уравнение вида оно получено Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1760) и истолковано Ж. Мёнье (J. Meusnier) как условие равенства нулю средней кривизны поверхности z=z(x, у), частные интегралы найдены Г. Монжем (G. Monge). Систематические исследования Э.-Л. у. проведены С. М. Бернштейном, который показал, что Э.-Л. у. является квазилинейным аллиптич. уравнением рода р=2, вследствие чего решения Э.-Л. у. обладают рядом свойств, резко отличающих их от решений линейных уравнений. К таким свойствам, напр., относятся устранимость изолированных особых точек решения без априорного предположения об ограниченности решения в окрестности особой точки, принцип максимума, имеющий место при тех же условиях, невозможность равномерной априорной оценки z(x, у )влюбой компактной подобласти круга через значения z в центре круга (т. е. отсутствие точного аналога неравенства Гарнака), факты, относящиеся к Дирихле задаче, отсутствие нелинейного решения Э.-Л. у., определенного над всей плоскостью ( Вернштейна теорема )и т. д. Э.-Л. у. обобщается по размерности: для минимальной гиперповерхности z=z(x1, . . ., xn) в соответствующее уравнение имеет вид Для этого уравнения исследована разрешимость задачи Дирихле, доказана устранимость особенностей решения, если они сосредоточены внутри области на множестве нулевой ( п-1)-мерной меры Хаусдорфа, показана справедливость теоремы Вернштейна для и построены контрпримеры для И. X. Сабитов.