Эйлера — Маклорена Формула

Формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена: где — Бернулли числа, Rn — остаточный член. С помощью Бернулли многочленов Bn(t), В n(0)=В п остаточный член записывается в виде: Для n=2sостаточный член R2s может быть представлен с использованием чисел Бернулли: Если производные и имеют одинаковые знаки и не меняют знака на [ р, т],то Если, кроме того, то Э.-М. ф. может быть записана в виде: В такой форме Э. — М. ф. применяется, напр., при выводе Стирлинга формулы. В этом случае и с — Эйлера постоянная. Имеются обобщения Э. — М. ф. на случай кратных сумм. Э.-М. ф. применяется для приближенного вычисления определенных интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Напр., при т=1, р=0, п=2т+1, Э.-М. ф. дает следующее выражение: Э.-М. ф. играет важную роль при изучении асимптотич. разложений, в теоретико-числовых оценках, в конечных разностей исчислении. Э.-М. ф. иногда применяется в виде: Э.-М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером [1] в виде: где S — сумма первых членов ряда с общим членом t(п), S=t=0 при n=0, а коэффициенты определяются рекуррентными соотношениями: Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном [2]. Лит.:[1] Еnlеr L., лComment Acad. sci. Imp. Petrop.