Эйлера Преобразование

1) Э. п. рядов: если дан числовой ряд то ряд наа. рядом, полученным из ряда (1) Э. п. рядов. Здесь Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд (2) и притом к той же сумме, что и ряд (1). Если ряд (2) сходится (в этом случае ряд (1) может расходиться), то ряд (1) наз. суммируемым по Эйлеру. Если ряд (1) сходится, an>0, для всех k=0,1, 2, ... последовательность монотонная и то сходимость ряда (2) быстрее сходимости ряда (1) (см. Сходимость). Л. Д, Кудрявцев. 2) Э. п.- интегральное преобразование вида где С — контур в комплексной плоскости с. Предложено Л. Эйлером (L. Euler, 1769). Э. п, применяется к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям где Qj(z) — многочлен степени и — константа. В таком виде можно представить любое линейное уравнение где Pj(z) — многочлены степени степень Pn(z) равна n. Уравнение наз. преобразованием Эйлера уравнения (2), Если w(z)определена формулой (1), причем то справедливо тождество при условии, что внеинтегральная подстановка, к-рая возникает при интегрировании по частям, обращается в нуль. Отсюда видно, что если M(v)=0, то w(z) — решение уравнения (2). Э. п. позволяет понизить порядок уравнения (2), если при j>q, q<п. При q=0, q=1уравнение (2) интегрируется (см. Похгаммера уравнение). Лит.:[1] Aйнс Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Харьков, 1939; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. г. нем., 5 изд., М., 1976. М. В. Федорюк. 3) Э. п. — 1-го рода — интегральное преобразование вида где — комплексные переменные, причем путем интегрирования является отрезок Э. п. 1-го рода наз. также дробным интегралом Римана — Лиувилля порядка m. (Иногда под интегралом Римана — Лиувилля понимают интеграл где а — комплексное число.) При нек-рых условиях на функции f(x),g(x) имеют место следующие равенства: -комплексные постоянные, Э. п. 2-го рода — интегральное преобразование вида где — комплексные переменные, причем путем интегрирования является луч или При нек-рых условиях имеют место следующие равенства — комплексные постоянные, Э. п. 2-го рода иногда наз. дробным интегралом Bейля порядка Указанные преобразования введены также для обобщенных функций. Лит.:Брычков Ю. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.