Математическая энциклопедия

Каратеодори Класс

Каратеодори Класс
КАРАТЕОДОРИ КЛАСС

- класс Сфункций

регулярных в круге |z|<1 и имеющих в нем положительную действительную часть. Класс назван по имени К. Каратеодори, определившего точное множество значений системы коэффициентов{c1, с2, . .., с п}, на классе С(см. [1], [2]).

Теорема Рисса - Герглотца. Для того чтобы функция f(z) принадлежала классу С, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление интегралом Стилтьеса

где m(t) - функция, неубывающая на отрезке [-p,p]и такая, что m(p)-m( -p)=1.

С помощью этого представления легко выводятся интегральные параметрич. представления для классов функций, выпуклых и однолистных в круге, звездообразных и однолистных в круге и др.

Теорема Каратеодори - Теплица. Множество значений системы {с 1, с 2,..., с п}, на классе Сесть замкнутое выпуклое ограниченное множество К п точек n-мерного комплексного евклидова пространства, в к-рых определители

либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с к-рого все равны нулю. В последнем случае получается поверхность П n тела К п. Каждой точке П n отвечает только одна функция класса Си она имеет вид

где

при jk, k, j = 1, . . ., N.

Множество значений коэффициента с п, п=1,2, ..., на классе Сесть круг окружности |с n| = 2 соответствуют только функции

Множество значений f(z0) (z0 фиксировано, |z0|<l) на классе Сесть круг, диаметром к-рого является отрезок границе этого круга соответствуют только функции

Рассматривались множества значений систем функционалов и более общего вида (см. [6]). Для класса Сполучены вариационные формулы, с помощью к-рых показано, что ряд экстремальных задач в классе Срешается функциями fN(z), (см. [В]).

Основной подкласс С - класс С r функций имеющих действительные коэффициенты с n, n=1, 2, .... Для того чтобы функция f(z)принадлежала классу С r, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление

где m(t)- функция, неубывающая на [0, 2p], m(2p)- -m(0)=l. С помощью этого представления решаются многие экстремальные задачи на классе С г.

Лит.:[1] Саratheоdоrу С, "Math. Ann.", 1907, Bd 64, S. 95-115; [2] его же, "Rend. Circolo mat. Palermo", 1911, v. 32, p. 193-217; [3] Tоeplitz О., там же, р. 191 - 92; [4] Ricsz P., "Ann. scient. Ecole norm, super.", 1911, t. 28, p. 33-62; [5] Herglotz G., "Ber. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. Kl.", 1911, Bd 63, S. 501 - 11; [6] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985
| Ещё

Что еще интересного в `Математическая энциклопедия` ?
ДИАДА - аффинор в гильбертовом пространстве где а, b- некоторые постоянные векторы,- скалярное произведение. Значение Д. состоит в том, что, напр., в n-мерном пространстве всякий аффинор Апредставляется в виде суммы не более чем n Д.: (в произвольном гильбертовом пространстве подобное разложение имеет место для частных классов линейных операторов, напр. для самосопряженных операторов, причем а i и bi образуют биортогоналъную систему). В 19 в. делались по...
ИМПЛИКАТИВНОЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - пропозициональное исчисление, использующее единственную исходную связку (импликацию). Примерами И. п. и. являются полное (или классическое) И. п. и., задаваемое аксиомами и правилами вывода: модус поненс и подстановка, а также позитивное И. п. и., задаваемое аксиомами и теми же правилами вывода. Всякая импликативная формула, т. е. формула, содержащая только связку выводима в полном (или позитивном) И. п. и. тогда и только тогда, когд...
КОНЪЮНКЦИЯ - логическая oперация, служащая для образования высказывания "A и В" из высказываний А и В. В формализованных языках К. высказываний А и В обозначается посредством Высказывания Аи Вназ. конъюнктивными членами высказывания АaВ. Употреблению К. в математической логике соответствует следующая истинностная таблица (см. выше). В. <Е. <Плиско. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985
КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - непрерывное распределение вероятностей с плотностью и функцией распределения где - параметры. К. р. одновершинно и симметрично относительно точки x=m, являющейся модой и медианой этого распределения. Моменты положительного порядка, в том числе и математич. ожидание, не существуют. Характеристич. функция имеет вид Класс К. р. замкнут относительно линейных преобразований: если случайная величина X имеет К. р. с параметрами l и m, то случайная величина Y=aX+b также им...
ЛАВРЕНТЬЕВА ТЕОРЕМА 1) Л. т. в д е с к р и п т и в н о й теории множеств: топологич. отображение между двумя множествами в можно продолжить до гомеоморфизма нек-рых содержащих их множеств типа Следствием этой Л. т. является топологич. инвариантность хаусдорфова типа множества (см. [1]). 2) Л. т. в т е о р и и приближений, критерий возможности равномерной аппроксимации: для того чтобы любую непрерывную на компакте функцию можно было равномерно на Каппроксимировать многочленами, необходимо и...
НИЛЬПОТОК - поток на нильмногообразии , определяемый действием на Мкакой-нибудь однопараметрич. подгруппы нильпотентной группы Ли G:если Мсостоит из смежных классов , то под действием Н. такой класс за время tпереходит в класс Лит.:[1] Ауслендер Л., Грин Л., Хан Ф., Потоки на однородных пространствах, пер. с англ., М., 1966. Д. В. Аносов. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977...
ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРИНЦИПЫ формальные описания различных представлений об оптимальном. Обычно О. п. отражают те или иные черты интуитивного понимания устойчивости, выгодности и справедливости. Существенно, что одновременная реализация всех (или хотя бы достаточно большого числа) таких черт часто оказывается невозможной ввиду их формальной несовместности. По мере того как теория О. п. приобретает аксиоматич. характер, создаются новые О. п., уже не всегда обладающие интуитивной прозрачностью. Пробл...
ПЕРЕСТРОЙКА сферическая перестройка, на многообразии типа (l, п-l) - переход от одного ( п-1)-мерного многообразия М 1 к другому многообразию M2, состоящий в изъятии вложенной в M1 сферы размерности X-1 и замене ее вложенной сферой размерности п-l-1. Подробнее см. Ручек теория. М. И. Войцеховский. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...
ПОСТНИКОВА КВАДРАТ когомологическая операция типа 0(1, А, 3, В), где А, В - абелевы группы с фиксированным гетероморфизмом h: , т. е. таким отображением, что функция билинейна и h (-g) =h(g). Пусть - эпиморфизм, а - свободная абелева группа. Для 1-коциклов П. к. определен формулой где - такая...
БЕРНШТЕЙНА ТЕОРЕМА о минимальных поверхностях: если минимальная поверхность задана уравнением . , где f имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков при всех действительных хи y, то F - плоскость. кривизной. Предложены многочисленные обобщения Б. т., идущие гл. обр. в трех направлениях: 1) Количественные уточнения; напр., получение априорных оценок вида , где - радиус круга, над к-рым определена минимальная поверхность , Программы Схема
ПРОГРАММЫ СХЕМА - формальный конструктивный объект, получающийся из программы абстрагированием от лексич. особенностей использованного при ее записи формального языка программирования и от смысла элементарных действий и объектов, употребляемых в программе. П. с. изучаются в программировании теоретическом. А. П. Ершов. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...
СВОБОДНАЯ БУЛЕВА АЛГЕБРА булева алгебра, обладающая такой системой образующих, что всякое отображение, этой системы в какую-либо булеву алгебру допускает продолжение до гомоморфизма. Любая булева алгебра изоморфна факторалгебре некрой С. б. а. Для любого кардинального числа асуществует единственная с точностью до изоморфизма С. б. а. с а образующими. Ее стоуновский бикомпакт есть топологич. произведение апростых двоеточий - двоичный дисконтинуум. Конечная булева алгебра свободн...
СЛУЧАЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ СЛУЧАЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ множества Х ={1,2, . . ., n} в себя - случайная величина, принимающая значения из множества всех однозначных отображений множества X в себя. С. о. для к-рых вероятность только для взаимно однозначных отображений , наз. случайными подстановками степени п. Наиболее полно изучены С. о., для к-рых при всех Тайхмюллера Пространство
ТАЙХМЮЛЛЕРА ПРОСТРАНСТВО пространство Тенхмюллера,- метрическое пространство ( М g, d), точками к-рого являются абстрактные римановы поверхности (т. е. классы конформно эквивалентных римановых поверхностей X рода g с выделенными эквивалентными относительно тождественного отображения системами -образующих фундаментальной группы а расстояние dмежду и равно In К, где постоянная К - отклонение отображения Тайхмюллера (квазиконформног...
ВИНОГРАДОВА ИНТЕГРАЛ кратный интеграл вида где являющийся средним значением степени 2k модуля тригонометрич. суммы. Теорема Виноградова о величине этого интеграла - теорема о среднем - лежит в основе оценок сумм Вейля (см. Виноградова метод, Виноградова теорема о среднем). А. А. Карацуба. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985...