Картана Метод Внешних Форм

Дифференциально-алгебраический метод исследования систем дифференциальных уравнений и многообразий с различными структурами. Алгебраич. основу метода составляет алгебра Грассмана. Пусть Vесть 2n -мерное векторное пространство над произвольным полем Кс базисными векторами е 0, е i, е ij, е ijk, ..., е 12...n, i<j<k. Кроме векторов базиса для произвольного натурального числа q, определяются векторы е i1i2....iq ,i1 i2,.. ., iq=1, 2,. .., n, по следующему закону: если среди натуральных чисел i1, i2,. .., iq есть хотя бы одна пара одинаковых, то е i1...iq=0; если все числа i1, ..., iq попарно различны и числа j1<j2<...<jq являются перестановкой чисел i1, i2,..., iq, то когда подстановка (ik)+(j)k -четная, и е i1....iq=- е j1....jq, когда эта подстановка нечетная. В векторном пространстве Vвводится внешнее умножение: при этом требуется выполнение обычных для гиперкомплексной системы (алгебры) законов. Построенная алгебра ранга 2" наз. алгеброй Грассмана. Вектор наз. мономом степени р,. Сумма мономов одинаковой степени р>1 наз. внешней формой степени р;сумма мономов первой степени наз. линейной формой. Элементы поля Кявляются, по определению, формами нулевой степени. Векторы е i и любые пих линейно независимых комбинаций образуют линейный базис алгебры Грассмана. Здесь и в дальнейшем по одинаковым индексам, встречающимся один раз снизу и один раз сверху, производится суммирование в соответствующих пределах. Алгебраической производной 1-го порядка от внешней формы степени рпо символу е i наз. форма степени р-1, к-рая получается из формы Wp заменой нулем всех мономов, не содержащих символа е i, и заменой единицей символа е i в остальных мономах после перенесения символа е i на первое место с соблюдением закона антикоммутативности при каждой последовательной перестановке. Ассоциированной системой линейных форм внешней формы Wp наз. совокупность всех ненулевых алгебраических производных (р-1)-го порядка от формы Wp. Рангом внешней формы Wp наз. ранг ее ассоциированной системы. Он совпадает с минимальным числом линейных форм, через к-рые, используя операцию внешнего умножения, можно выразить форму Wp. Для исследования системы дифференциальных уравнений в Rn используется дифференциальная алгебра Грассмана, когда в качестве Крассматриьается множество аналитич. функций от пдействительных переменных х i, определенных в нек-рой области пространства Rn, а векторы е i обозначаются символами dxi. Линейные формы в ней наз. 1-формами, или формами Пфаффа. В них символы dxi являются дифференциалами переменных х i. Внешние формы степени р>1 наз. р-формами, или внешними дифференциальными формами степени р. Внешним дифференциалом р-формы наз. (р+1)-форма Внешнее дифференцирование обладает следующими свойствами: где — произвольные р-формы, a Wq — произвольная q-форма. Форма Пфаффа w= aidxi тогда и только тогда является полным дифференциалом нек-рой функции f, когда ее внешний дифференциал равен нулю. Пусть- произвольная система линейно независимых уравнений Пфаффа cm независимыми переменными х а и r неизвестными функциями zp. Система Dqa=0 наз. замыканием системы (1). Замыкание наз,. чистым замыканием (обозначается если в нем алгебраически учтена исходная система (1), то есть если в квадратичные формы Dqa. подставлены значения dza из уравнений (1). Система qa=0, Dqa=0 или эквивалентная ей система qa = 0,наз. замкнутой системой. Система (1) тогда и только тогда вполне интегрируема, когда Приравнивая нулю алгебраические производные от по dxa и dzx a=l, . .., т,x=s+l, ..., r, и присоединяя уравнения Пфаффа к исходной системе (1), получают вполне интегрируемую систему уравнений, к-рая наз. характеристической системой системы (1). Множество ее независимых первых интегралов образует наименьшую совокупность переменных, через к-рые можно выразить все уравнения системы (1). Пусть — результат подстановки в алгебраич. производную вместо dxa, dzx. произвольных переменных h=i, 2,..., т-1. С системой (1) ассоциируется последовательность матриц Числа наз. характерами, число Q=s1 +2s2 +... + msm наз. числом Картана системы (1). Присоединяя к замкнутой системе qa=О, уравнения dzx= где — новые неизвестные функции, получают первое продолжение системы (1). Пусть N- число функционально независимых функций из всегда Если N=Q, то система (1) — в инволюции и ее общее решение зависит от sm произвольных функций т аргументов, sm-1 функций т-1 аргумента, и т. д., s1 функций одного аргумента и sпроизвольных постоянных. Если же N<Q, то систему (1) надо продолжать, причем в результате конечного числа продолжений получается либо система в инволюции, либо противоречивая система. Пусть, напр., имеется системаdz1 = udx+x2 dy, dz2 = udy+у 2dx с независимыми переменными х, у и неизвестными функциями u, z1, z2 (s=2, m=2, r=3). Чистое замыкание ее имеет вид: Для этой системы: Система не находится в инволюции. Продолженная системаdz1 = и dx+x2 dy, dz2 = u dy+у 2 dx, du = 2(y dx+x dy )вполне интегрируема и ее общее решение имеет вид:u = 2xy+c1,z1 = x(xу + с 1)+с 2, z2 = у( ху+ с 1) + с 3, где c1, c2, с 3- произвольные постоянные. Использование К. м. в. ф. значительно упрощает формулировки и доказательства многих теорем математики и теоретич. механики. Напр., теорема Остроградского записывается формулой где М- аналитическое ориентируемое (m+1)-мерное многообразие, Г — его m-мерная гладкая граница, W — m-форма, а DW- ее внешний дифференциал. Формула замены переменных в кратном интеграле при отображении р: определенном формулами xi= ji (u1, u2,..., и п), где D,получается непосредственной заменой переменных х i и их дифференциалов Так как то К. м. в. ф. широко применяется при исследовании многообразий с различными структурами. Пусть М- дифференцируемое многообразие класса F=- множество дифференцируемых функций на М, D1- множество всех векторных полей на М, Us- множество кососимметричных F-полилинейных отображений модуля D1...D1(sраз,- натуральное число). Пусть = F, а через U обозначена прямая сумма F- модулей Элементы модуля U наз. внешними дифференциальными формами на М; элементы модуля наз. s-формами. Пусть тогда 'внешнее умножение определится формулами: где Sr+s- группа подстановок множества 1, 2,..., r+s, а e(s)=1 или -1, в зависимости от того, четной или нечетной подстановкой является а. Модуль U кососимметрических F-полилинейных функций с внешним умножением наз. алгеброй Грассмана над многообразием М. Если Мсовпадает с Rn, то получается рассмотренная выше дифференциальная алгебра Грассмана. Внешним дифференцированием наз. R-линейное отображение D: обладающее следующими свойствами: для каждого если то Df есть 1-форма, определенная равенством Df(X)=X(f), где если Пусть, напр., М- многообразие с заданной аффинной связностью. Аффинная связность на многообразии М- это правило С, к-рое сопоставляет каждому линейное отображение Сx векторного пространства D1 в себя, удовлетворяющее следующим двум условиям: для f, Оператор наз. ковариантной производной относительно X. Пусть Ф — диффеоморфизм многообразия М, — аффинная связность на М. Формула где определяет на Мновую аффинную связность. Аффинная связность наз. инвариантной относительно Ф, если В этом случае Ф наз. аффинным преобразованием многообразия М. Пусть для всех и пусть D1- модуль, двойственный F-модулю D1. F -полилинейное отображение (со, X, Y)w(T(Х, Y)), где — форма Пфаффа, наз. тензорным полем кручения и обозначается через Т; F -полилинейное отображение (w, Z, X, Y)w (R(X, Y) -Z )наз. тензорным полем кривизны и обозначается через R. Пусть и Х 1,..., Х п — базис для векторных полей в нек-рой окрестности Up точки р. Функции определяются на Up формулами Для 1-форм определенных на U р формулами справедливы структурные уравнения Картана: Система уравнений Пфаффа задает m-мерное подмногообразие Продолжая эту систему с использованием структурных уравнений Картана, получают последовательность фундаментальных геометрич. объектов подмногообразия первого, второго и т. д. порядков. В общем случае существует фундаментальный геометрич. объект конечного порядка к, определяющий подмногообразие с точностью до постоянных. При исследовании подмногообразий многообразия МК. м. в. ф. обычно используется совместно с методом подвижного репера (см., напр., [4]). Метод назван по имени Э. Картана (Е. Cartan), к-рый широко использовал внешние формы с 1899. Лит.:[1] Картан Э., Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения, пер. с франц., М., 1962; [2] Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М.- Л., 1948; [3] Xелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [4] Картан Э., Риманова геометрия в ортогональном репере, пер. с франц., М., I960. В. С. Малаховский.