Квазирегулярный Радикал
Кольца — наибольший квазирегулярный идеал данного кольца. Идеал Акольца Rназ. квазирегулярным, если Аявляется квазирегулярным кольцом. Во всяком альтернативном (в частности, ассоциативном) кольце существует К. р.; он совпадает с суммой всех правых (левых) квазирегулярных идеалов (см. [1], [10]). К. р. ассоциативного кольца наз. также Джекобсона радикалом. К. p. J(R) произвольного альтернативного кольца Rравен пересечению всех максимальных модулярных правых (левых) идеалов кольца R; J(R)равен также пересечению ядер всех неприводимых правых (левых) представлений кольца R(см. [1], [5]-[8]). Кольцо Rназ. J-полупростым (или просто полупростым), если J(R) =0. Факторкольцо R/J(R)всегда полупросто. Всякое полупростое кольцо изоморфно подпрямой сумме примитивных колец [1], [8]. Если Rудовлетворят условию минимальности для правых (левых) идеалов, то радикал J(R)нильпотентен, а факторкольцо R/J(R)изоморфно конечной прямой сумме полных матричных колец над телами и алгебр Кэли — Диксона (последние слагаемые в ассоциативном случае отсутствуют), см. [1]-[3]. Пусть А- двусторонний идеал кольца R, тогда (см. [1], [4]); если Rассоциативно и Rn- кольцо всех матриц порядка пнад R, то Если R- ассоциативная алгебра над полем Fи мощность Fбольше размерности Rнад Fлибо Rявляется алгебраической над F, то J(R)- нильидеал. К. р. конечно порожденного альтернативного кольца, удовлетворяющего существенному тождественному соотношению, совпадает с нижним нильрадикалом (см. Радикалы колец и алгебр) [6]. Некоторый аналог К. р. существует Во всякой йордаповой алгебре. Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1981; [2] Жевлаков К. А., "Алгебра и логика", 1965, т. 4, № 4, с. 87-102; [3] его же, тай же, 1966, т. 5, № 3, с. 11-36; [4] его же, там же, 1969, т. 8, №2, с. 176-80; [5] его же, там же, № 3, с. 309-19; [6] его же, там же, 1972, т. 11, № 2, с. 140-61; [7] Слинько А. М., Шестаков И. П., там же, 1974, т. 13, № 5, с. 544-88; [8] Kleinfeld E., "Amer. J. Math.", 1955, v. 77, p. 725 — 30; [9] McCrimmon K., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1969, v. 62, p. 671-78; [10] Smiley M. P., "Ann. Math.", 1948, v. 49, № 3, p. 702-09. И. П. Шестаков.
