Лагранжа Уравнения

Механики — обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка, описывающие движения механич. систем под действием приложенных к ним сил. Л. у. установлены Ж. Лаг-ранжем [1] в двух формах: Л. у. 1-го рода, или уравнения в декартовых координатах с неопределенными множителями Лагранжа, и 2-го рода, или уравнения в обобщенных лагранжевых координатах. Л. у. 1-го рода описывают движения как голономных систем, стесненных только геометрич. связями вида так и неголономных систем, на к-рые наложены, помимо связей (1), кинематич. связи вида где — декартовы координаты и скорости точек, N — число точек системы, t — время, — масса р- йточки, имеющей координаты. Связи (1) и (2) предполагаются независимыми, т. е. ранги матриц равны соответственно kи т. Л. у. 1-го рода имеют вид где — неопределенные множители Лагранжа, пропорциональные реакциям связей, — проекции на оси координат заданных активных сил, причем сила Fp действующая на р- юточку, имеет проекции К дифференциальным уравнениям (3) надлежит присоединить k+m уравнений (1) и (2), в результате чего получается система 3N+k+т уравнений с таким же числом неизвестных Л. у. 1-го рода на практике обычно применяются для систем с небольшим числом неизвестных. Л. у. 2-го рода описывают движения лишь голономных систем, стесненных связями вида (1). Введением в рассмотрение n=3N-k независимых обобщенных лагранжевых координат qi, с помощью к-рых любое возможное положение системы может быть получено при нек-рых значениях qi из равенств обращающих уравнения (1) в тождества, устанавливается для каждого tвзаимно однозначное соответствие между возможными положениями системы и точками нек-рой области n-мерного конфигурационного пространства (q1, .., qn). В случае стационарных связей (1) всегда возможно выбрать переменные д;так, что время tне будет входить в уравнения (4). Далее записываются с помощью уравнений (4) выражения для суммы элементарных работ всех активных сил Fp на возможных перемещениях системы и кинетич. энергии системы Здесь — обобщенная сила, соответствующая координате — однородные степени s формы обобщенных скоростей qi, причем В случае стационарных связей Т= Т 2. Л. у. 2-го рода имеют вид Уравнения (5) представляют собой систему га обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с неизвестными qi. Они инвариантны по форме относительно выбора лагранжевых координат. Эта система уравнений движения имеет наименьший возможный порядок 2n. В этом, а также в отсутствии в уравнениях (5) реакций связей, состоит большое преимущество уравнений (5) по сравнению с Л. у. 1-го рода (3). После интегрирования системы (5) реакции связей могут быть определены из уравнений, выражающих второй закон Ньютона для точек системы. В случае потенциальных обобщенных сил, когда существует силовая функция такая, что уравнения (5) принимают вид где носит название функции Лагранжа, или кинетич. потенциала. Если или — то уравнения (6) допускают обобщенный интеграл энергии или циклический интеграл соответствующий циклической координате q а. Лит.:[1] Lagrange J., Мeсаniquе analytique, P., 1788 (рус. пер.- Л а г р а н ж Ж., Аналитическая механика, 2 изд., т. 1, М.- Л., 1950). В. В. Румянцев.