Максимума И Минимума Точки

Точки, в к-рых действительная функция принимает наибольшее или наименьшее значения на области определения; такие точки наз. также точками абсолютного максимума или абсолютного минимума. Если функция f определена на топологич. пространстве X, то точка х 0 наз. точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность точки х 0, что для сужения рассматриваемой функции на этой окрестности точка х 0 является точкой абсолютного максимума (минимума). Различают точки строгого и нестрогого максимума (мини м у м а) (как абсолютного, так и локального). Напр., точка наз. точкой нестрогого (строгого) локального максимума функции f, если существует такая окрестность точки х 0, что для всех выполняется неравенство (соответственно f(х)<f(x0). )/ Для функций, определенных на конечномерных областях, в терминах дифференциального исчисления существуют условия и признаки того, чтобы данная точка была точкой локального максимума (минимума). Пусть функция f определена в нек-рой окрестности тючки x0 числовой оси. Если x0- точка нестрогого локального максимума (минимума) ив этой точке существует производная f'(x0), то она равна нулю. Если заданная функция f дифференцируема в окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки, в к-рой она непрерывна, и производная f' по каждую сторону от точки x0 в этой окрестности сохраняет постоянный знак, то для того чтобы x0 была точкой строгого локального максимума (локального минимума), необходимо и достаточно, чтобы производная меняла знак с плюса на минус, т. е. чтобы f' (x)>0 при x<.x0 и f'(x)<0 при x>x0 (соответственно с минуса на плюс: f' (х)<0 при x<x0 и f'(x)>0 при х>х 0). Однако не для всякой функции, дифференцируемой в окрестности точки x0, можно говорить о перемене знака производной в этой точке. . ' Если функция fимеет в точке х 0 т производных, причем то для того чтобы х 0 была точкой строгого локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы те было четным и чтобы f(m)(x0)<0, и — локального минимума, чтобы m было четно и f(m) (x0)>0. Пусть функция f(x1 ..., х п]определена в n-мерной окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Если x(0) является точкой нестрогого локального максимума (минимума), то дифференциал функции f в этой точке равен нулю. Это условие равносильно равенству нулю в этой точке всех частных производных 1-го порядка функции f. Если функция имеет 2-е непрерывные частные производные в точке x(0), все ее 1-е производные обращаются в x(0) в нуль, а дифференциал 2-го порядка в точке x(0) представляет собой отрицательную (положительную) квадратичную форму, то x(0) является точкой строгого локального максимума (минимума). Известны условия для М. и м. т. дифференцируемых функций, когда на область изменения аргументов наложены определенные ограничения: удовлетворяются уравнения связи. Необходимые и достаточные условиям максимума (минимума) действительной функции, область определения к-рой имеет более сложную структуру, изучаются в специальных разделах математики: напр., в выпуклом анализе, математическом программировании (см. также Максимизация и минимизация функций). М. и м. т. функций, определенных на многообразиях, изучаются в вариационном исчислении в целом, а М. и м. т. для функций, заданных на функциональных пространствах, т. е. для функционалов, в вариационном исчислении. Существуют также различные методы численного приближенного нахождения М. и м. т. Лит.:[1] И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1,М., 1971; [2] КудрявцевЛ.