Метрическая Проекция
Оператор наилучшего приближения,- многозначное отображение , ставящее в соответствие каждому элементу хметрич. пространства совокупность наилучшего приближения злементовпз множества Если М- чебышевское множество, то М. п.- однозначное отображение. Задачу построения элемента наилучшего приближения часто решают приближенно, т. е. находят элемент из множества где достаточно мало. По свойствам отображения иногда можно судить о множестве М. Так, если для любого элемента х нормированного пространства Xсуществует число такое, что выпукло (связно), то множество Мвыпукло (соответственно связно). С точки зрения приложений полезно знать, обладает ли М. п. такими свойствами, как линейность, непрерывность, равномерная непрерывность и т. д. М. п. на чебышевское подпространство нормированного пространства X, вообще говоря, не линейна. Если М. п. на каждое подпространство фиксированной размерности является однозначной и линейной, то Xлинейно изометрично пространству с внутренним произведением. М. п. на непустое аппроксимативно компактное множество в метрич. пространстве полунепрерывна сверху, в частности, в нормированном пространстве М. п. на конечномерное чебышевское подпространство непрерывна; полунспрерывности снизу М. п. может не быть, если это подпространство не чебышевское. Существует рефлексивное строго выпуклое пространство и в нем бесконечномерное подпространство, М. п. на к-рое разрывна. Для М. п. на любое замкнутое выпуклое множество Мгильбертова пространства выполняется условие Липшица с константой Свойство непрерывности М. п . и ее обобщений находит применение в некорректных задачах, задаче о выпуклости чебышевских множеств, при построении элементов наилучшего приближения и т. д. Лит.:[l]Singer I., The theory of best approximation and functional analysis, Phil., 1974; [2] Власов Л. П., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 6, с. 3-66; [3] Бердышев В. И., в кн.: Теория приближения функций. Тр. Международной конференции по теории приближения функций. Калуга. 1975, М., 1977 с. 37 — 41. В. И. Бердыгиев.
