Метрическая Теория Функций

Раздел теории функций действительного переменного, в к-ром свойства функций изучаются на основе понятия меры множества. Исследованиями многих математиков 19 в. была создана новая математич. дисциплина — теория функций действительного переменного. К кон. 19 в. четко выкристаллизовались нек-рые проблемы, требовавшие своего решения:- проблема меры множества, длин кривых и площадей поверхностей, представления функций рядами (в частности, тригонометрическими), примитивной и интеграла, взаимосвязи интегрирования и дифференцирования, почленного интегрирования рядов и др. Решение этих проблем имело общематематич. значение; в этом направлении работали крупнейшие математики, чем, в частности, и объясняется бурное развитие М, т. ф, в 1-й трети 20 в. Основы М. т. ф. были заложены Э. Борелем (Е. Borel), P. Бэром (R. Bairе), А. Лебегом (Н. Lobosgue) и др. В 1902 А. Лебег ввел чрезвычайно важное понятие меры множеств ( Лебега меры). На основе этого понятия им была создана теория интеграла ( Лебега интеграла). Эти два основных понятия — мера и интеграл — составляют фундамент М. т. ф., к-рая занимается изучением свойств функций, производных, интегралов, функциональных рядов (в частности, тригонометрич. рядов и общих ортогональных рядов), площадей поверхностей и т. п . Многие основные свойства меры и интеграла Лебега были установлены в нач. 20 в. самим А. Лебегом (счетная аддитивность меры и интеграла, предельный переход под знаком интеграла, дифференцирование неопределенного интеграла и др.). Кроме того, А. Лебег дал многочисленные приложения этих исследований к различным вопросам математич. анализа (площади поверхностей, разнообразные свойства тригонометрич. рядов, сингулярных интегралов и др.). Дж. Витали (G. Vitali, 1904) независимо открыл меру, тождественную мере Лебега, а несколько позже У. Юнг (W. Young, 1905) также построил интеграл и меру, эквивалентные интегралу и мере Лебега. Однако они не развили свою теорию и не дали ей в этот период существенных приложений. Начало развития М. т. ф. в России следует отнести к нач. 20 в., хотя первые крупные результаты в этой области были получены русскими математиками во 2-м десятилетии 20 в. (Д. Ф. Егоров, Н. Н. Лузин), когда произошло становление нового крупного центра исследований по М. т. ф. Создателем и руководителем школы М. т. ф. в СССР был Н. Н. Лузин. Развитие М. т. ф. можно охарактеризовать двумя большими направлениями. Первое направление: на базе меры множества и интеграла Лебега, а также их обобщений исследуются как общие свойства функций, интегралов, тригонометрич. рядов, ортогональных рядов и т. п., так и их более конкретные тонкие свойства, выявление и изучение к-рых при помощи методов классич. анализа было труднодоступным. Это направление и представляет, собственно, М. т. ф. Второе, не менее важное направление, состоит в проникновении методов М. т. ф. в другие разделы математики, а также в создании на базе ее идей других новых областей математики, к-рые в свою очередь оказывают стимулирующее влияние на теорию функций. На базе М. т. ф. началось детальное изучение граничных свойств аналитических функций;была создана метрическая теория чисел, методы к-рой неразрывно связаны с М. т. ф. Велико влияние теории функций на создание функционального анализа. Ниже отличаются нек-рые характерные результаты по М. т. ф., каждый из к-рых знаменовал собой решение того или иного узлового вопроса, повлекшего в дальнейшем многочисленные исследования. Так, в 1911 Д. Ф. Егоров доказал, что всякая сходящаяся последовательность измеримых функций является равномерно сходящейся, если пренебречь нек-рым множеством сколь угодно малой меры (см. Егорова теорема). Н. Н. Лузин (1912) установил, что всякая измеримая функция становится непрерывной, если пренебречь некоторым множеством сколь угодно малой меры (см. Лузина С-свойство). Эти два результата трудно переоценить, т. В начале 3-го десятилетия 20 в. Д. Е. Меньшов и X. Радемахер (Н. Rademacher) установили, что последовательность является множителем Вейля для сходимости почти всюду рядов по любым ортонормированным системам. Кроме того (и это является особенно важным и принципиальным), Д. Е. Меньшов доказал (1923), что указанное выше утверждение теряет силу, если последовательность заменить на любую последовательность с при . Эти результаты стали тем фундаментом, на к-ром основывались и основываются многочисленные исследования по теории сходимости и суммируемости ортогональных рядов. В 1926 А. Н. Колмогоров построил пример всюду расходящегося тригонометрич. ряда Фурье от суммируемой функции. В то же время длительный период оставалась нерешенной проблема сходимости почти всюду тригонометрич. рядов Фурье от функций , поставленная Н. Н. Лузиным в 1914. Положительное решение этой проблемы было дано Л. Карлесоном (L. Саrleson) лишь в 1966 (см. Карлесона теорема). П. Дюбуа-Реймоном (P. du Bois-Reymond), А. Лебегом и Ш. Балле Пуссеном (Ch. la Vallee Poussin) был решен вопрос о восстановлении коэффициентов тригонометрич. рядов, сходящихся к суммируемым функциям. В 40-х гг. 20 в. А. Данжуа построил интеграл, при помощи к-ро-го им была решена проблема восстановления коэффициентов по сумме произвольных всюду сходящихся тригонометрич. рядов. В это же время Д. Е. Меньшов доказал, что всякая конечная измеримая функция представима нек-рым почти всюду сходящимся тригонометрич. рядом. Г. Кантором (G. Cantor), У. Юнгом, Н. К. Бари и др. были заложены основы теории единственности тригонометрич. рядов. Лит.:[1] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.- Л., 1934; [2] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М., 1951; [3] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [4] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; [5] Xалмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [б] Паплаускас А. Б., Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега, М., 1966; [7] Песин И. Н., Развитие понятия интеграла, М., 1966; [8] М е н fain о в Д. Е., Ульянов П. Л., "Вестн. Моск. ун-та. Матем., мех.", 1967, № 5, с. 24-36; [9] Колмогоров А. Н., Теория функций действительного переменного, в кн.: Наука в СССР за пятнадцать лет. Математика, М.-Л., 1932; [10] действительного переменного, в кн.; Математика в СССР за тридцать лет, М.-Л., 1948; [11] Лозинский С. М., Натансон И. П., Метрическая и конструктивная теория функций вещественной переменной, в кн.: Математика в СССР за сорок лет, т. 1, М., 1959; [12] Ульянов П. Л., Метрическая теория функций, в кн.: История отечественной математики, т. 3, К., 1968; [13] Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971. П. Л. Ульянов.