Неймана Алгебра

Подалгебра А алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н, самосопряженная (т. е. содержащая вместе с каждым оператором Тсопряженный к нему оператор ) и совпадающая со своим бикомму-тантом (т. е. содержащая те и только те операторы , к-рые перестановочны с каждым оператором, перестановочным со всеми операторами из А). Эти алгебры были введены Дж. Нейманом [1]. Согласно теореме Неймана самосопряженная алгебра тогда и только тогда является Н. а., когда алгебра А(или ее единичный шар) замкнута в слабой, сильной, ультраслабой или ультрасильной, но не равномерной операторной топологии. Данная симметричная банахова алгебра Втогда и только тогда изометрически изоморфна нек-рой Н. а., когда Весть -алгебра, изометричная нек-рому сопряженному пространству; банахово пространство Е, удовлетворяющее условию , определено однозначно с точностью до изоме-трич. изоморфизма и может быть отождествлено с пространством ультраслабонепрерывных линейных форм на изометрически изоморфной ВН. а., это пространство обозначается и наз. преддвойственным пространством для В. Такие симметричные банаховы алгебры наз. -алгебрами. Пусть АН. а. в гильбертовом пространстве Н, — ее коммутант, — центр алгебры, Р- проектор в .- проектор в . Подпространство инвариантно относительно А, и семейство ограничений операторов из А на подпространство Р'Н образует Н. а. в пространстве ; эта алгебра обозначается и наз. индуцированной, а отображение наз. индукцией Ана А Р;семейство ограничений операторов вида на подпространство образует Н. а. А Р в пространстве эта алгебра наз. редуцированной. Если то редуцированная и индуцированная Н. а. совпадают. Изометрический изоморфизм Н. а. наз. алгебраическим; Н. а. в гильбертовом пространстве Нназ. пространственно изоморфной Н. а. Вв пространстве К, если существует унитарный оператор U, отображающий H на K и удовлетворяющий условию Пересечение любого семейства Н. а. в данном гильбертовом пространстве есть Н. а.; наименьшая Н. а., содержащая данное множество М, наз. Н. а., порожденной множеством М. Пусть — гильбертовы пространства,- их прямая сумма, — Н. а. в , А- Н. а. в пространстве Я, порожденная такими операторами Тиз что каждое подпространство инвариантно относительно Ти ограничение Тна Hi принадлежит ; Н. а. наз. прямым произведением Н. а.и обозначается Для Н. а. определены также операции тензорного произведения и бесконечного тензорного произведения. Н. а. наз. фактором, если ее центр состоит из операторов, кратных единичному. Пусть — Н. а., — множество положительных операторов из A. Весом на Аназ. аддитивное отображение множества в однородное относительно умножений на положительные числа. Вес наз. следом, если для всех и всех унитарных операторов Uиз А. След наз. конечным, если для всех ; полуконечным, если для любого величина есть верхняя грань чисел вида , где и точным, если из условия следует Т=0; нормальным, если для любого возрастающего семейства элементов из с точной верхней границей Твеличина является верхней гранью чисел . Н. а. Аназ. конечной, если на Асуществует семейство нормальных конечных следов, разделяющее точки А;собственно бесконечной, если на Ане существует ненулевых конечных следов; полуконечной, если на Асуществует точный нормальный полуконечный след, и чисто бесконечной, или алгеброй типа III, если на А не существует ненулевых нормальных полуконечных следов. Н. а. наз. дискретной, или алгеброй типа I, если она алгебраически изоморфна Н. а., коммутант к-рой коммутативен; такая алгебра полуконечна. Н. а. наз. непрерывной, если для любого ненулевого центрального проектора РН. а.не является дискретной. Непрерывная полуконечная алгебра наз. алгеброй типа II. Конечная алгебра типа II наз. Н. а. типа ; собственно бесконечная алгебра типа II наз. Н. а. типа . Принадлежность Н. а. к определенному типу равносильна принадлежности ее коммутанта тому же типу, но коммутант конечной Н. а. не обязательно является конечной Н. а. Пусть А- Н. а.,- проекторы в А, Р и Qназ. эквивалентными, если существует такой элемент что Пусть если существует такой проектор что отношение есть отношение частичного порядка. Классификация Н. а. по типам I и т. д. может быть проведена в терминах этого отношения, в частности: проектор наз. конечным, если из условий следует, что Н. а. конечна тогда и только тогда, когда единичный проектор конечен, и полуконечна, если и только если точная верхняя граница семейства конечных проекторов есть единичный проектор. Н. а. Аполуконечна тогда и только тогда, когда она может быть реализована как левая Н. а. нек-рой совершенной гильбертовой алгебры;элементами соответствующей гильбертовой алгебры являются такие элементы — точный нормальный полуконечный след на А. Для алгебр типа III соответствующая реализация может быть получена с помощью обобщенных гильбертовых алгебр и весов на Н. а. Пусть — фиксированное гильбертово пространство размерности — борелевское пространство, — положительная мера на — разбиение на непересекающиеся измеримые подмножества, — гильбертово . пространство суммируемых с квадратом -измеримых отображений пространства в , Пусть при если где пусть при отображение , где — непрерывный линейный оператор в гильбертовом пространстве , наз. измеримым полем операторов, если для любого функция измерима на каждом множестве . Если — измеримое поле операторов и функция существенно ограничена на Z, то для любого существует единственный вектор такой, что -почти всюду. Отображение определенное формулой для всех является ограниченным линейным оператором в H, и Такой оператор Тв Н наз. разложимым. Пусть для любого определена Н. а. в пространстве ; отображение наз. измеримым полем Н. а., если существует такая последовательность измеримых операторных полей, что при любом Н. а.порождается операторами . Множество всех таких разложимых операторов T в H, что при каждом есть Н. а. в H, обозначаемая она наз. прямым интегралом Н. а. по мере . Любая Н. а. в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна нек-рому прямому интегралу факторов. Произвольная Н. а. может быть подвергнута алгебраич. разложению, в связи с чем теория факторов и представляет интерес для общей теории Н. а. Н. а. естественно возникают в задачах, связанных с операторами в гильбертовом пространстве, и имеют многочисленные приложения как в самой теории операторов и теории представлений групп и алгебр, так и в теории динамич. систем, статистич. физике и квантовой теории поля. Лит.:[1] Murray F., Neumann J., "Ann. Math.", 1936, v. 37, p. 116-229; "Trans. Amer. Math. Soc", 1937, v. 41, p. 208-48; [2] Neumann J.,"Ann. Math.". 1943, v. 44, p. 716-808; [3] Dixmier J., Les algebres d'operateurs dans l'espace hilbertien, 2 (id., P., 1969; [4] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974; [5] Sаkai S., C*-algebras and W*-algebras, В., 1971; [6] Neumann J;, "Сотр. math.", 1938, v. 6, p. 1-77; "Ann. Math.", 1940, v. 41, p. 94-161; [7] Guiсhardet A., "Ann. scient. Ecole norm, super.", 1966, t. 83, p. 1-52; [8] Tакесакu M., "Математика", 1974, т. 18, № 3, с. 84-120, Ms 4, с. 34-63; [9] Zsido L., Topological decompositions of operator algebras, Vienna, 1974; [10] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968. А. И. Штерн.