Неймана Метод Доверительных Интервалов

Один из методов доверительного оценивания, позволяющий получать интервальные оценки для неизвестных параметров вероятностных законов по результатам наблюдений. Предложен и развит Ю. Нейманом (см. [1], [2]). Суть метода заключается в следующем. Пусть — случайные величины, совместная функция распределения к-рых зависит от параметра Далее, пусть в качестве точечной оценки параметра используется статистика функция распределения к-рой есть Тогда для любого числа Риз интервала можно определить систему из двух уравнений относительно переменной : При определенных условиях регулярности функции к-рые выполняются почти во всех интересных для практики случаях, система имеет единственное решение такое, что Множество наз. доверительным интервалом (доверительной оценкой) для неизвестного параметра с доверительной вероятностью . Статистики наз. нижним и верхним доверительными пределами, отвечающими выбранному коэффициенту доверия Р. В свою очередь, число наз. коэффициентом доверия доверительного интервала . Таким образом, Н. м. д. и. приводит к интервальным оценкам, коэффициент доверия к-рых Пример 1. Пусть независимые случайные величины подчиняются одному и тому же нормальному закону математич. ожидание к-рого неизвестно. В этом случае наилучшей оценкой для является достаточная статистика к-рая распределена по нормальному закону . Фиксируя Риз интервала и решая уравнения находят нижний и верхний доверительные пределы отвечающие выбранному коэффициенту доверия Р. Так как то доверительный интервал для неизвестного математич. ожидания G нормального закона имеет вид причем коэффициент доверия его в точности равен 2P-1. Пример 2. Пусть — случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону с параметрами nи , т. е. для любого целого где — неполная бета-функция . Если параметр "успеха" неизвестен, то для определения доверительных пределов нужно согласно Н. м. д. и. решить уравнения где . По таблицам математич. статистики определяют корни и этих уравнений, являющиеся соответственно верхним и нижним доверительными пределами с коэффициентом доверия Р. Полученный таким образом доверительный интервал имеет коэффициент, в точности равный . Очевидно, что если в эксперименте получают то в этом случае если же Н. м. д. и. существенно отличается от бейесовского метода и метода, основанного на фидуциальном подходе Фишера. В Н. м. д. и. неизвестный параметр функции распределения трактуется как постоянная величина, а сам доверительный интервал строится до эксперимента, в ходе к-рого вычисляется значение статистики Т. Следовательно, согласно Н. м. д. и. вероятность одновременного выполнения неравенств есть априорная вероятность того, что доверительный интервал "накрывает" неизвестное истинное значение параметра . Очевидно, что на самом деле доверительный метод Неймана остается в силе, если является случайной величиной, так как в Н. м. д. и. интервальная оценка строится до проведения эксперимента и, следовательно, не зависит от априорного распределения параметра. Н. м. д. и. выгодно отличается от бейесовского и фидуциального подходов своей независимостью от априорной информации о параметре , и при этом, в отличие от метода Фишера, логически безупречен. В общем случае Н. м. д. и. приводит к целой системе доверительных интервалов для неизвестного параметра, в связи с чем возникает задача построения оптимальной интервальной оценки, обладающей, напр., свойствами несмещенности, селективности или подобия, к-рая находит свое решение в рамках теории проверки статистич. гипотез. Лит.:[1] Neyman J., "Ann. Math. Statistics", 1935, v. 6, p. 111 -16; [2] eго же, "Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A.", 1937, v. 236, p. 333-80; [3] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [4] Большев Л. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1965, т. 10, № 1, с. 187-92; [5] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979. М. С. Никулин.