Неймана Ряд

Ряд вида где — Бесселя функции (цилиндрич. функции 1-го рода),- нек-рое число (действительное или комплексное). К. Нейман [1] рассмотрел частный случай, когда — целое число. Он показал, что если — аналитич. ция в замкнутом круге с центром в начале координат,- внутренняя точка круга, С — граница круга, то имеет место равенство О п- многочлен степени относительно : он обычно наз. многочленом Неймана n-го порядка (сам К. Нейман эту функцию называл бесселевой функцией 2-го порядка, ныне этим термином пользуются для обозначения одного из решений уравнения Бесселя). Примеры представления функций с помощью Н. р.: где — любое не целое отрицательное число, Г — гамма-функция. В теории интегральных уравнений Фредгольма рядом Неймана наз. разложение резольвенты ядра К: где — итерированные ядра (ядра К), определяемые рекуррентными формулами С помощью формулы (2) решение уравнения (1) при малых представляется равенством Последний ряд также наз. рядом Неймана. Ряд (3) был рассмотрен К. Нейманом [2] в случае уравнения (1), к к-рому сводится задача Дирихле в теории потенциала. Пусть А- ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Xв себя, и пусть норма . Тогда оператор I-А, где I — тождественный оператор, имеет единственный обратный ограниченный линейный оператор (I-A)-1 допускающий разложение к-рое в теории линейных операторов наз. рядом Неймана. Ряд (3) можно рассматривать как частный случай ряда (4). Лит.:[1] Neumann К., Theorie der Besselschen Punctionen, Lpz., 1867; [2] его же, Untersuchungen uber das logarithmische und Newtonsche Potential, Lpz., 1877; [3] Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1, М, 1949; [4] Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, 2 изд., Л.- М., 1935; [5] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [6] Трикоми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1960. Б. В. Хведелидзе.